Hur man förenklar en radikal

En radikal är ett algebraiskt uttryck som innehåller rotsymbolen (kvadratisk, kubisk eller högre). Ofta beskriver dessa uttryck samma nummer även om de förekommer i en extremt annorlunda form (till exempel uttrycket ${ displaystyle { frac {1} {{sqm {2}} - 1}}}$ det är lika med ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ ). Det rätta sättet att arbeta med radikalerna (eller med matematiska uttryck som innehåller dem) består i att försöka definiera dem eller att återföra dem till deras "kanonisk form". Om de efter att ha förenklat två algebraiska uttryck i sin kanoniska form fortfarande framstår som olika, betyder det helt enkelt att de är väldigt olika. Matematiker är alla överens om att den kanoniska formen där radikalerna och algebraiska uttryck som innehåller dem ska beskrivas bör respektera dessa regler:

Inom rotsymbolen borde det inte vara fraktioner;
Fraktionella exponenter bör inte användas;
Radikaler bör inte vara närvarande i nämnaren av en fraktion;
Man bör inte föröka en radikal för en annan radikal;
Inga andra rötter ska vara närvarande i en rot.

Den här enkla guiden kan vara användbar när du behöver hantera test som ger frågor med flera svar. Efter att ha identifierat lösningen på det föreslagna problemet, om den sistnämnda inte sammanfaller med någon av de som tillhandahålls av problemets text, försök helt enkelt skriva om den i kanonisk form. Eftersom de experter som skapar provtestna normalt rapporterar lösningarna på de problem som föreslås i kanonisk form, gör detsamma kommer du att märka att om ditt svar är korrekt kommer det att visas identiskt med det som föreslagits. I fria responstest, uttryck som "förenkla din lösning" eller "det är nödvändigt att förenkla alla radikaler" de betyder att de steg som beskrivs i den här guiden är skyldiga att skriva lösningarna beräknade i kanonisk form som visas ovan. Den kanoniska formen kan också användas när man arbetar med ekvationer, men i det här fallet kan det vara lättare att använda en icke-kanonisk form.

steg

Om det behövs granska de matematiska reglerna för hantering av radikaler och befogenheter (detta är samma argument, eftersom radikalerna faktiskt är fraktioner), eftersom det är ett grundläggande ämne för att fullständigt förstå innehållet i denna artikel. Den granskar också principerna för förvaltning och förenkling av polynomier och rationella uttryck, eftersom de är grundläggande i matematiken för att utföra förenklingar.

Metod 1

Perfekt makt

Förenkla alla radikala uttryck som representerar en perfekt kvadrat. Med termen "perfekt kvadrat" hänvisas till produkten av något nummer för sig själv: till exempel är 81 produkten av 9 x 9. I detta fall är förenklingen mycket enkel, eftersom det är tillräckligt att eliminera rotsymbolen och att rapportera det antal som representerar kvadratroten av det perfekta torget som undersöks.

Till exempel är 121 en perfekt kvadrat eftersom den är en produkt av 11 x 11. Du kan sedan ersätta uttrycket ${ displaystyle { sqrt {121}}}$ med nummer 11.
För att ytterligare förenkla lärandet av denna process är det nödvändigt att memorera serien av de första tolv perfekta rutorna: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25 , 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

Förenkla varje radikal som representerar en perfekt kub. En perfekt kub representerar produkten av ett tal multiplicerat två gånger av sig själv. Till exempel är 27 resultatet av 3 x 3 x 3. För att förenkla en radikal som representerar en perfekt kub, raderar du helt enkelt rotte tecknet och rapporterar numret som representerar den kubiska roten av den perfekta kuben.

Till exempel är nummer 343 en perfekt kub, eftersom den kommer från produkten 7 x 7 x 7. Så den kubiska roten på 343 är helt enkelt 7.

Metod 2

Konvertera en kraft med rationell exponent till en radikal

Om du föredrar kan du utföra den omvända omvandlingen, det vill säga omvandla en radikal till en kraft (ibland finns det goda skäl att utföra en operation av den här typen). Det viktiga är inte att använda krafter med fraktionerade och radikala exponenter, till exempel exempel ${ displaystyle { sqrt {5}} + 5 ^ { frac {3} {2}}}$ , inom ett enda uttryck. Denna artikel förutsätter att du bestämmer dig för att använda rotnotation och sedan använda uttrycket ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ för att ange kvadratroten av ${ displaystyle n}$ och ${ displaystyle { sqrt [{3}] {n}}}$ för att ange den kubiska roten av ${ displaystyle n}$ .

Hitta alla fraktionella exponenterna och konvertera dem till respektive radikala form med hjälp av följande identitet ${ displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{b}] {x}} ^ {a}}$ .

Om du har en rot med ett bråkindex, försök att förenkla denna typ av termer också. Till exempel, ${ displaystyle { sqrt [{ frac {2} {3}}] {4}}}$ det kan skrivas som ${ displaystyle ({ sqrt {4}}) ^ {3}}$ dvs. ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ , vilket är lika med 8.

Konvertera befogenheter med negativa exponenter till deras ekvivalenta fraktionsform med hjälp av följande regel ${ displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}$ .

Denna princip gäller endast för konstanter och rationella exponenter. Om du har en term som

{ displaystyle 2 ^ {x}}

, lämna det i sin ursprungliga form även om problemets sammanhang indikerar det

{ displaystyle x}

det kan vara en bråkdel eller negativ exponent.

Kombinera liknande villkor med varandra för att förenkla all radikal som härrör från denna operation.

Metod 3

Eliminera fraktioner från radikalerna

Den kanoniska formen av radikaler kräver att man uttrycker roten till en fraktion som en fraktion av rötter av heltal.

Undersök roten på vilken radikal du arbetar med för att identifiera de som innehåller fraktioner.

Om de presenterar fraktioner, ersätt dem med fraktionen som består av två distinkta radikaler med hjälp av följande identitet:

{ displaystyle { sqrt { frac {a} {b}}} = { frac { sqrt {a}} { sqrt {b}}}}

Utför inte denna substitution om nämnaren av fraktionen är negativ eller om det är ett variabelt uttryck vars värde kan vara negativt. I det här fallet börjar det med att förenkla fraktionen.

Fortsätt genom att förenkla alla de perfekta rutorna som följer av föregående steg. Till exempel uttrycket

{ displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

Det kan skrivas om som

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} { sqrt {4}}}}

, vilket kan förenklas till

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} {2}}}

Gör någon annan användbar förenkling för att nå den slutliga lösningen av problemet, till exempel reducera komplexa fraktioner, kombinera liknande termer etc.

Metod 4

Utför multiplikationer bland radikaler

Om du måste möta ett matematiskt uttryck där det finns en produkt bland radikaler, kombinera dem för att få en enda radikal använder den här egenskapen:

{ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}

. Skriv till exempel följande matematiska uttryck

{ displaystyle { sqrt {2}} times { sqrt {6}}}

i formuläret

{ displaystyle { sqrt {12}}}

Likheten beskriven i föregående passage, ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}$ , Det gäller endast i fråga om positiv radicandi. Det kan inte tillämpas om ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ De är negativa, eftersom det felaktigt skulle innebära att följande jämlikhet är sant: ${ displaystyle { sqrt {-1}} times { sqrt {-1}} = { sqrt {1}}}$ . Den vänstra sidan av ekvationen är per definition lika med -1 (om förekomsten av komplexa tal inte är känd eller vägrade, är detta värde odefinierat), medan högra sidan är lika med 1. Om en av radicandi ${ displaystyle a}$ eller ${ displaystyle b}$ är negativ eller om de båda är, först och främst är det nödvändigt att ändra tecknet med hjälp av följande regel: ${ displaystyle { sqrt {-5}} = i times { sqrt {5}}}$ . Om radicando är ett variabelt uttryck, vars tecken inte kan härledas från problemets sammanhang (och därför kan vara både positivt och negativt), utför för närvarande inte någon operation. I det här fallet kan du använda följande allmänna identitet ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt { pm {a}}} gånger { sqrt { pm {b}}} times { sqrt} }$ , vilket gäller för uppsättningen av alla reella tal som antas av ${ displaystyle a}$ och ${ displaystyle b}$ , men det brukar inte introducera komplexiteten att behöva hantera tecken på radicandi.
Denna identitet kan bara tillämpas om de berörda radikalerna har samma index. I allmänhet är det möjligt att multiplicera radikaler av vilken typ som helst, såsom till exempel ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}}}$ , men du måste först skriva om dem så att de alla har samma index. För att göra detta kan du konvertera rötter till makter med fraktionerade exponenter. I vårt exempel får vi ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}} = 5 ^ { frac {1} {2}} gånger 7 ^ { frac {1} {3} } = 5 ^ { frac {3} {6}} tider 7 ^ { frac {2} {6}} = 125 ^ { frac {1} {6}} gånger 49 ^ { frac {1 {6}}}}$ . Vid denna tidpunkt kan du tillämpa multiplikationsegenskaperna för att få ett slutresultat ${ displaystyle { sqrt [{6}] {6125}}}$ .

Metod 5

Extrahera rotfaktorer från en radikal

Bryta ner en ofullkomlig radikal i sina främsta faktorer. Faktorer representerar tal som, om de multipliceras, ger det ursprungliga numret som ett resultat. Till exempel är siffrorna 5 och 4 två faktorer i numret 20. För att bryta ner en ofullkomlig radikal i sina faktorer börjar du med att lista alla radicando-divisorerna (om det gäller ett mycket stort antal, notera alla de du kan att identifiera) tills du identifierar en faktor som representerar en perfekt kvadrat.

Till exempel, försök att lista alla faktorer i nummer 45: 1, 3, 5, 9, 15 och naturligtvis 45. Du märker omedelbart att numret 9, förutom att vara en faktor 45, är också en perfekt kvadrat eftersom ${ displaystyle 9 = 3 ^ {2}}$ och ${ displaystyle 9 times 5 = 45}$ .

Extrahera från rottecken någon faktor som representerar en perfekt kvadrat. Nummer 9 är en perfekt kvadrat eftersom 9 är resultatet av

{ displaystyle 3 times 3}

. Ta siffran 9 ut ur rotte tecknet, vrid det till 3 och lämna nummer 5 inuti. Om du behöver ta tillbaka nummer 3 i roten måste du höja det till torget för att vända tillbaka till nummer 9 (i fallet med en rot med index 2). Vid denna punkt kan du multiplicera den med 5 för att få den ursprungliga rotationen, det är 45. Uttrycket

{ displaystyle 3 { sqrt {5}}}

det är ett enklare sätt att uttrycka radikalen

{ displaystyle { sqrt {45}}}

Den fullständiga processen är som följer

{ displaystyle { sqrt {45}} = { sqrt {9 gånger 5}} = { sqrt {9}} times { sqrt {5}} = 3 { sqrt {5}}}

Sök efter ett perfekt kvadrat i en variabel. Kvadratroten av

{ displaystyle a ^ {2}}

det borde vara lika med det absoluta värdet, det vill säga

display

. du kan förenkla det vidare bara pekar

{ displaystyle a}

, bara om du vet att denna variabel har ett positivt tecken. uttrycket

{ displaystyle { sqrt {a ^ {3}}}}

kan sönderdelas i

{ displaystyle { sqrt {a}} times a}

. Det här är möjligt eftersom när produkten utförs mellan lika variabler, läggs exponenten till

{ displaystyle a ^ {2} times a}

det är lika med

{ displaystyle a ^ {3}}

Härav härledar vi det inom

{ displaystyle a ^ {3}}

den perfekta torget är närvarande

{ displaystyle a ^ {2}}

Utdrag ur rottetecknet alla variabler som representerar en perfekt kvadrat. Vid denna tidpunkt är det möjligt att ta variabeln ur roten

{ displaystyle a ^ {2}}

förvandlas till det | A |. Den förenklade formen av

{ displaystyle a ^ {3}}

det är

{ displaystyle | a | { sqrt {a}}}

Den kombinerar alla samma villkor och förenklar, där det är möjligt, alla radikaler som härrör från denna operation.

Metod 6

Rationalisering av nämnaren

Den kanoniska formen av radikaler kräver att, om möjligt, nämnaren uttrycket måste vara ett heltal (eller ett polynom, om det visar sig vara ett obestämt värde).

Om nämnaren av uttrycket i fråga består av endast en term under roten, t.ex. ${ displaystyle { frac {[täljare]} { sqrt {5}}}}$ , det är möjligt att multiplicera både täljaren och nämnaren för den radikal som undersöks erhåller ${ displaystyle { frac {[täljare] gånger { sqrt {5}}} {{sql {5}} times { sqrt {5}}}}}$ = ${ displaystyle { frac {[täljare] gånger { sqrt {5}}} {5}}}$ .
För kubiska rötter eller överlägsen index, för att rationalisera nämnaren korrekt, multiplicera dem med roten med rätt index. Om uttrycket är närvarande i nämnaren ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}}}$ , det kommer att vara nödvändigt att multiplicera både täljare och nämnare för fraktionen för ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}} ^ {2}}$ .
Om nämnaren består av summan eller skillnaden mellan kvadratrotsar, till exempel ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {6}}}$ , Du måste fortsätta genom att multiplicera täljaren och nämnaren för dess konjugatkomplex, det är samma uttryck, men som använder den motsatta operatören. Du får då ${ displaystyle { frac {[täljare]} {{sql {2}} + { sqrt {6}}}} = { frac {[täljare] gånger ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}}} {{{sql {2}} + { sqrt {6}}) gånger ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}}}}}$ . Vid denna tidpunkt kan man för att rationalisera nämnaren av detta uttryck tillgripa identiteten i förhållande till skillnaden mellan ruta ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$ erhålla ${ displaystyle ({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) gånger ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}) = ({ sqrt {2}}) {2} - ({ sqrt {6}}) ^ {2} = 2-6 = -4}$ .
Detta tillvägagångssätt är funktionellt när det gäller nämnare som ${ displaystyle 5 + { sqrt {3}}}$ också för att varje heltal kan ses som kvadratroten av ett annat heltal. Här är ett praktiskt exempel: ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {3}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {{5 + { sqrt {3}}) gånger (5 - { sqrt {3}})}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {5 ^ {2} - { sqrt {3 ^ {2}}}}} frac {5 - { sqrt {3}}} {25-3}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {22}}}$
Denna metod fungerar också i fallet med en summa kvadratiska rötter, såsom ${ displaystyle { sqrt {5}} - { sqrt {6}} + { sqrt {7}}}$ . Om radikalerna grupperas på följande sätt ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) + { sqrt {7}}}$ och det erhållna uttrycket multipliceras ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) - { sqrt {7}}}$ , Den slutliga lösningen representerar inte ett rationellt tal, men kommer att överensstämma med formuläret ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , var det är ${ displaystyle a}$ båda ${ displaystyle b}$ de är rationella värden. Vid denna punkt kan du upprepa processen med hjälp av konjugatkomplexet av ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , var ${ displaystyle (a + b times { sqrt {30}}) gånger (a-b gånger { sqrt {30}})}$ det är ett rationellt nummer. Med andra ord, om du kan använda detta steg en första gång för att minska antalet radikaler som finns i nämnaren av en fraktion, kan du sedan återanvända det flera gånger för att förenkla dem helt.
Denna metod fungerar också i fallet av nämnare som består av rötter med ett index som är större än 2, såsom till exempel ${ displaystyle { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{7}] {9}}}$ . I detta fall är det helt enkelt nödvändigt att multiplicera både täljaren och nämnaren för det komplexa konjugatet av det senare. Tyvärr är det inte klart förståeligt vad det är och hur man får det komplexa konjugatet av ett komplext uttryck som det som tagen som ett exempel. En bra lärobok om talteori behandlar ämnet i större detalj och mer fullständigt, en aspekt som ligger utanför ramen för denna artikel.

Nu har nämnaren av fraktionen rationaliserats, men uppenbarligen har problemet flyttats till täljaren. Vid denna tidpunkt måste vi hantera det element som vi började rationaliseringen av nämnaren, det vill säga dess komplexa konjugat som finns i täljaren av den fraktion som undersöks. Utveckla produkten precis som du skulle göra med en produkt mellan polynomier. Fortsätt att identifiera och eliminera eller förenkla varje erhållen term och, om möjligt, kombinera samma.

Om nämnaren av fraktionen är ett negativt heltal multiplicerar du täljaren och nämnaren med koefficienten -1 för att omvandla den till ett positivt tal.

tips

Det finns webbplatser som identifieras av en enkel online-sökning, som automatiskt kan förenkla de uttryck som innehåller radikaler. Du skriver helt enkelt ekvationen eller uttrycket inuti rotsymbolen i rätt textfält - efter att du har tryckt på Enter-tangenten får du lösningen på ditt problem.
När det gäller enkla frågor kan många av de steg som beskrivs i denna artikel inte tillämpas. Tvärtom, vid mycket komplicerade problem, måste vissa steg tillämpas flera gånger. När du arbetar, försök att ständigt göra förenklingar "enkel"Därför, jämför den en gång med den slutliga lösningen av problemet med kriterierna i förhållande till den kanoniska formen av de radikaler som rapporteras i introduktionen av artikeln. Om ditt svar återspeglar den kanoniska formen, är arbetet gjort. Annars kan en av artiklarnas avsnitt säkert visa dig hur och var du ska göra förenklingar för att slutföra din uppgift.
De flesta matematiska problem som kräver förmånlig användning av "kanonisk form" beträffande uttryck som innehåller radikaler kan också innefatta komplexa tal ( ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ ). Även om de komplexa siffrorna använder elementet "den" istället för att få tillbaka rotsymbolen är det bra att undvika att de visas inom nämnaren av en bråkdel.
En del av anvisningarna i denna artikel avser uteslutande kvadratiska rötter. De allmänna reglerna är desamma som de som används för de kubiska rötterna eller högre, även om vissa av dem (i synnerhet rationaliseringen av nämnaren) kan vara mycket svåra att tillämpa. Du måste också bestämma om du vill ha uttryck som ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ eller ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$ .
Terminologin redovisas i vissa delar av denna artikel "kanonisk form" felaktigt, eftersom vi i verkligheten hänvisar till "normal form" av radikalerna. Skillnaden ligger i det faktum att den kanoniska formen kräver att uttrycket ska återföras ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ eller ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ och att märka den andra som olämplig. Den normala formen innebär att läsaren är tillräckligt förberedd och lysande för att kunna känna igen av sig själv att dessa uttryck verkligen representerar "enkel" siffror även om de är skrivna annorlunda. Med formuleringen "enkel" vi menar siffror till vilka endast de aritmetiska reglerna kan tillämpas (till exempel kommutativ egenskap hos tilläggen) och inte de algebraiska (där till exempel ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ det är den positiva lösningen av ekvationen ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ ). Vi hoppas att läsare kommer att förlåta detta lilla missbruk av terminologi.
Om instruktionerna i den här guiden verkar tvetydiga eller till och med motsägelse mot formuläret i din textbok beskriver radikalerna, fortsätt att tillämpa alla sammanhängande och tydliga steg och välj sedan resultatet som ligger mer i linje med texten av studien du använder.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade