Hur man delar upp logaritmer

Vid första anblicken kan logaritmer vara svåra att använda, men de är precis som makter eller polynomier, du behöver bara lära dig rätt teknik. Du behöver bara ett par elementära egenskaper för att dela upp två logaritmer med samma bas eller expandera den som innehåller en bråkdel.

Metod 1

Dela logaritmer manuellt

Titta på problemet med att leta efter negativa tal eller 1. Metoden som beskrivs i det här avsnittet gör det möjligt att lösa uppdelningarna i denna form:

{ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (a)}}}

- Det är emellertid inte tillämpligt för vissa specifika fall:

Logaritmen för ett negativt tal är odefinierat för alla baser (till exempel ${ displaystyle log (-3)}$ eller ${ displaystyle log _ {4} (- 5)}$ ) - skriv i det här fallet "ingen lösning";
Logaritmen på 0 är odefinierad för alla baser och du hittar en term som ${ displaystyle ln (0)}$ , skriva "ingen lösning";
Logaritmen av 1 i vilken som helst bas ( ${ displaystyle log (1)}$ ) är alltid noll, med tanke på det ${ displaystyle x ^ {0} = 1}$ för varje x- ersätt logaritmen med numret 0 istället för att använda metoden som beskrivs nedan;
Om två logaritmer har olika baser, som ${ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {log_ {4} (a)}}}$ och du kan inte förenkla en av dem som ett heltal, kan problemet inte lösas för hand.

Konvertera uttrycket till logaritmen. Förutsatt att problemet inte passar i något av ovanstående fall kan du förenkla det med bara en logaritm - för att göra det, använd formeln

{ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (a)}} = log _ {a} (x)}

Första exemplet: lösa problemet

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}

.
Först konvertera du fraktionen till en logaritm med hjälp av ovanstående formel:

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {2} (16)}

Detta är formeln för "grundläggande förändring" som härrör från logaritmens elementära egenskaper.

Beräkna lösningen för hand om möjligt. Kom ihåg att för att lösa

{ displaystyle log _ {a} (x)}

du måste tänka "

{ displaystyle a ^ {?} = x}

", det vill säga "för vilken kraft jag måste höja till att få x?". Denna process är inte alltid möjlig utan hjälp av en miniräknare, men om du har tur kan du komma över en enkel logg.

Första exemplet: skriva om

{ displaystyle log _ {2} (16)}

hur

{ displaystyle 2 ^ {?} = 16}

- värdet av "?" det är lösningen på problemet. Du kan hitta det med en rättegångsprocess:

{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}

{ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}

{ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}

16 är det resultat du letade efter, då lösningen av

{ displaystyle log _ {2} (16)}

det är 4.

Lämna svaret i en logaritmisk form om du inte kan förenkla det. Vissa är väldigt komplexa att lösa för hand. Om du behöver hitta ett nummer för praktiska ändamål borde du använda en räknare. Om du löser ett skolproblem är det troligt att läraren förväntar dig att lämna lösningen i form av en logaritm. Här är ett annat mer komplext exempel som använder den här metoden:

Andra exemplet: hitta lösningen av

{ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7)}}}

Vrid fraktionen till en enda logaritm:

{ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7)}} = log _ {7} (58)}

. Observera att ₃ av varje initial logaritm försvinner och detta händer för vilken bas som helst.

Skriv om det i form av

{ displaystyle 7 ^ {?} = 58}

och leta efter möjliga lösningar för "?":

{ displaystyle 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}

{ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343.}

Sedan 58 faller mellan två konsekutiva krafter, lösningen av

{ displaystyle log _ {7} (58)}

det är inte ett heltal.

lämna

{ displaystyle log _ {7} (58)}

som ett svar.

Metod 2

Logaritm med Frazione

Börja med divisionen som ligger inne i logaritmen. Det här avsnittet i artikeln lär dig hur du löser problem som innehåller uttryck:

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}})}

Tänk på:
"Lös för "n" om ${ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log _ {3} (6)}$ ".

Kolla på negativa tal. Logaritmen för ett tal mindre än noll är obestämd "x" eller "y" är negativa, se till att problemet kan lösas innan du fortsätter:

om "x" eller "y" det är negativt, det finns ingen lösning;

om "x" och "y" de är båda negativt, ta bort tecknet "-" använder fastigheten:

{ displaystyle { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}}

;

Det finns inga logaritmer med negativa tal, så du kan fortsätta med nästa steg.

Expand kvoten i två logaritmer. En användbar egenskap beskrivs med formeln:

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = log _ {a} (x) - log _ {a} (y)}

. Med andra ord är logaritmen för en fraktion lika med täljareens logaritm minus nämnaren.

Använd den här egenskapen för att expandera villkoren till vänster om likhetsskylten:

{ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = log _ {3} (27) - log _ {3} (6n)}

Rapportera vad som erhölls i den ursprungliga ekvationen:

{ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log _ {3} (6)}

→

{ displaystyle log _ {3} (27) - log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

Förenkla logaritmen om möjligt. Om någon ny logg i uttrycket har ett heltal som en lösning, kan du förenkla det på det här steget.

Exemplet som hittills beaktats har en ny term:

{ displaystyle log _ {3} (27)}

. Sedan 3³ = 27, du måste förenkla

{ displaystyle log _ {3} (27)}

i 3.

Den fullständiga ekvationen visas nu som:

{ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

Isolera variabeln. Precis som i alla algebraproblem är det värt att isolera termen som innehåller variabeln i ena sidan av ekvationen - det kombinerar termerna så mycket som möjligt för att förenkla problemet.

{ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

{ displaystyle 9- log _ {3} (6n) = - log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}

Dra nytta av andra egenskaper hos logaritmer vid behov. För att isolera variabeln från resten av ekvationen skriver du om villkoren med olika egenskaper av samma.

I exemplet ovan, n det är fortfarande "instängd" inom termen

{ displaystyle log _ {3} (6n)}

.
För att isolera variabeln, använd produktegenskapen mellan logaritmer:

{ displaystyle log _ {a} (bc) = log _ {a} (b) + log {a} (c)}

{ displaystyle log _ {3} (6n) = log _ {3} (6) + log _ {3} (n)}

Ange vad som finns i den fullständiga ekvationen:

{ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3} (6)}

Fortsätt förenkling tills du hittar lösningen. Upprepa samma algebraiska och logaritmiska tekniker flera gånger tills du når resultatet. Om det inte är ett heltal, använd en kalkylator e runt lösningen till den mest signifikanta decimalen.

{ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (n) = 9}

Sedan 3⁹ = 19683, n = 19683.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade