Hur man förenklar rationella uttryck

Rationella uttryck måste förenklas till minsta faktor. Detta är en ganska enkel process om faktorn är en singel, men det kan vara lite mer komplex om faktorerna innehåller fler villkor. Här är vad du behöver göra baserat på vilken typ av rationellt uttryck du behöver lösa.

Metod 1

1: Rationellt uttryck av Monomi

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 1

Utvärdera problemet. De rationella uttryck som består av enbart monomier är det enklaste att minska. Om båda termen i uttrycket har en term varje, är allt du behöver göra för att minska täljaren och nämnaren till deras maximala gemensamma nämnare.

Observera att mono betyder "en" eller "singel" i detta sammanhang.
exempel: 4x / 8x ^ 2

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Steg 2

Radera delade variabler. Titta på variablerna som visas i uttrycket, både i täljaren och i nämnaren finns samma bokstav, du kan ta bort den från uttrycket med hänsyn till de kvantiteter som finns i de två faktorerna.

Med andra ord, om variabeln visas en gång i täljaren och en gång i nämnaren kan du helt enkelt radera den eftersom: x / x = 1/1 = 1

Om, tvärtom, variabeln förekommer i båda faktorerna men i olika kvantiteter, subtraherar den som har en större effekt, den som har den lägsta effekten: x ^ 4 / x ^ 2 = x ^ 2/1

exempel: x / x ^ 2 = 1 / x

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 3

Minska konstanterna till minsta termer. Om de numeriska konstanterna har en gemensam nämnare, dela täljaren och nämnaren med denna faktor och rapportera fraktionen till minsta form: 8/12 = 2/3

Om konstanterna med rationellt uttryck inte har en gemensam nämnare, kan det inte förenklas: 7/5

Om en av de två konstanterna kan dela den andra helt, bör den betraktas som en gemensam nämnare: 3/6 = 1/2

exempel: 4/8 = 1/2

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 4

Skriv din lösning. För att bestämma det måste du minska både variablerna och de numeriska konstanterna och rekombinera dem tillsammans:

exempel: 4x / 8x ^ 2 = 1 / 2x

Metod 2

2: Rationella uttryck av binomialer och polynomier med monomiella faktorer

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 5

Utvärdera problemet. En del av uttrycket är monom, men den andra är binomial eller ett polynom. Du måste förenkla uttrycket genom att leta efter en monomial faktor som kan tillämpas på både täljaren och nämnaren.

I detta sammanhang, mono betyder "en" eller "singel" bi betyder "två" och polig betyder "mer än två".
exempel: (3x) / (3x + 6x ^ 2)

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 6

Separata delade variabler. Om samma variabler visas i täljaren och nämnaren kan du inkludera dem i divisionsfaktorn.

Detta gäller endast om variablerna förekommer i varje uttrycksterm: x / (x ^ 3 - x ^ 2 + x) = (x) (1) / [(x) (x ^ 2 - x + 1)]

Om en term inte innehåller variabeln, kan du inte använda den som en faktor: x / x ^ 2 + 1

exempel: x / (x + x ^ 2) = [(x) (1)] / [(x) (1 + x)]

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 7

Separata delade numeriska konstanter. Om konstanterna i varje uttrycksperiod har gemensamma faktorer, dela varje konstant av den gemensamma divisorn för att minska täljaren och nämnaren.

Om en konstant delar den andra helt, bör den betraktas som en gemensam divisor: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]

Detta gäller endast om alla uttrycken i uttrycket delar samma divisor: 9 / (6 - 12) = 3 * [3 / (2 - 4)]

Ej giltigt om någon av termen i uttrycket inte delar samma divisor: 5 / (7 + 3)

exempel: 3 / (3 + 6) = [(3) (1)] / [(3) (1 + 2)]

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 8

Kommenterar delade värden. Kombinerar de reducerade variablerna och konstanterna för att bestämma den gemensamma faktorn. Ta bort denna faktor från uttrycket och lämna de variabler och konstanter som inte kan förenklas ytterligare mellan dem.

exempel: (3x) / (3x + 6x ^ 2) = [(3x) (1)] / [(3x) (1 + 2x)]

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 9

Skriv den slutliga lösningen. För att bestämma det, ta bort de gemensamma faktorerna.

exempel: [(3x) (1)] / [(3x) (1 + x)] = 1 / (1 + x)

Metod 3

3: Rationella uttryck av binomialer och polynomier med binomiala faktorer

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 10

Utvärdera problemet. Om det inte finns några monomier i uttrycket, måste du returnera täljaren och nämnaren till binomiala faktorer.

I detta sammanhang, mono betyder "en" eller "singel" bi betyder "två" och polig betyder "mer än två".
exempel: (x ^ 2-4) / (x ^ 2 - 2x-8)

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 11

Dela in täljaren i par. För att göra detta måste du hitta de möjliga lösningarna för variabeln x.

exempel: (x ^ 2 - 4) = (x - 2) * (x + 2).

Att lösa för x, du måste sätta variabeln till vänster om lika och konstanterna till höger om lika:x ^ 2 = 4.

Minska x single-power gör kvadratroten: √x ^ 2 = √4.

Kom ihåg att lösningen av en kvadratrot kan vara både negativ och positiv. Så de möjliga lösningarna för x de är: -2, +2.

Så indelningen av (x ^ 2-4) i dess faktorer är det: (x - 2) * (x + 2).

Dubbelkontroll genom att multiplicera faktorerna. Om du är osäker på huruvida dina beräkningar är korrekta, gör det här testet - du borde hitta det ursprungliga uttrycket.

exempel: (x - 2) * (x + 2) = x ^ 2 + 2x - 2x - 4 = x ^ 2-4

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 12

Dela in nämnaren i par. För att göra detta måste du bestämma vilka möjliga lösningar för x.

exempel: (x ^ 2 - 2x - 8) = (x + 2) * (x - 4)

Att lösa in x, du måste flytta variablerna till vänster om lika och konstanterna till höger: x ^ 2 - 2x = 8

Lägg på båda sidor kvadratroten av hälften av koefficienten på x: x ^ 2 - 2x + 1 = 8 + 1

Förenkla båda sidor: (x - 1) ^ 2 = 9

Gör kvadratroten: x - 1 = ± √9

Lös för x: x = 1 ± √9

Som med alla kvadratiska ekvationerna, x har två möjliga lösningar.

x = 1 - 3 = -2

x = 1 + 3 = 4

Så faktorerna för (x ^ 2 - 2x-8) de är: (x + 2) * (x - 4)

Dubbelkontroll genom att multiplicera faktorerna bland dem. Om du inte är säker på dina beräkningar, gör detta test, bör du hitta det ursprungliga uttrycket.

exempel: (x + 2) * (x - 4) = x ^ 2 - 4x + 2x - 8 = x ^ 2 - 2x - 8

Bildnamn Förenkla rationella uttryck Stap 13

Eliminera vanliga faktorer. Bestäm vilka binomialer som är gemensamma mellan täljaren och nämnaren och ta bort dem från uttrycket. Lämna de som inte kan förenklas mellan dem.

exempel: [x - 2] (x + 2)] / [(x + 2) (x - 4)] = (x + 2) * [(x - 2) / (x - 4)]