Hur man beräknar ytan på ett kvadrat från diagonalen

Den mest använda och kända metoden för att beräkna areans kvadrat är mycket enkel: det består i att kvadrera längden på en av sidorna. Den matematiska formeln är ${ displaystyle A = l ^ {2}}$ . Ibland är dock den enda informationen som finns tillgänglig längden på en kvadrat diagonal, det vill säga linjen som förbinder de två motsatta vertikalerna. Om du redan har studerat rektangel trianglarna kan du lära dig en ny formel som låter dig beräkna området för en kvadrat som bara vet storleken på dess diagonala.

Del 1

Beräkna ytan med diagonalen

Rita en ruta. Karakteristiken för denna geometriska figur är att ha fyra perfekt lika sidor. Låt oss anta att varje sida har samma längd lika med l.

Granska den klassiska formeln för att beräkna området för en kvadrat. Som ett parallellogram beräknas området för denna geometriska figur genom att multiplicera basen och höjden med varandra. I det här fallet har varje sida samma längd, l, så formeln kan skrivas som A = lxl = l². Detta steg kommer att vara mycket användbart senare.

Gå med i några par motsatta hörn för att dra en av de två diagonalerna. Låt oss anta att längden på diagonalen är lika med d. En kvadratisk diagonal delar upp den i två perfekt identiska rektangel trianglar.

Applicera Pythagorasatsen till en av dessa trianglar. Formeln som beskrivs av Pythagorean Theorem används för att beräkna hypotenuslängden för en rätvinklad triangel: (cateto_1)² + (Cateto_2)² = (hypotenus)², eller, om du föredrar den klassiska formeln,

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

. Nu när torget ifråga har delats in i två rektangel trianglar med sin diagonala, är det möjligt att tillämpa Pythagorean Theorem formel till en av dessa två geometriska figurer:

De tre kattarna i triangeln i fråga representerar sidorna på torget där den är inskriven och var och en har samma längd som är lika med l.

Triangeln i triangeln representerar istället kvadratens diagonala och har en längd som är lika med d.

Från denna resonemang dras vi då av det

{ displaystyle l ^ {2} + l ^ {2} = d ^ {2}}

Skriv om ekvationen under övervägande så att variabeln l² isoleras i en av de två medlemmarna. Kom ihåg att vi vet att en kvadrats yta är lika med l². Isolering av variabeln l² i en medlem av ekvationen för Pythagoras teorem får du en ny ekvation för att beräkna området av en kvadrat:

{ displaystyle l ^ {2} + l ^ {2} = d ^ {2}}

Förenklar du får:

{ displaystyle 2l ^ {2} = d ^ {2}}

Genom att dela båda medlemmarna av ekvationen med 2 får vi:

{ displaystyle l ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}

sedan

{ displaystyle A = l ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}

Den nya slutliga formeln är

{ displaystyle A = { frac {d ^ {2}} {2}}}

Vi använder den formel som just erhållits i ett exempelproblem. Stegen som just undersökt är det matematiska beviset på korrektheten av formeln som använder diagonalen i en kvadrat för att beräkna området, vilket gäller för varje kvadrat:

{ displaystyle A = { frac {d ^ {2}} {2}}}

. Nu behöver vi helt enkelt byta ut variabeln d längden på diagonalen i ett exempel kvadrat och lösa ekvationen.

Till exempel antar vi att vi har en kvadrat vars diagonala mäter 10 cm.

Området av denna siffra kommer att vara lika med

{ displaystyle A = { frac {10 ^ {2}} {2}}}

{ displaystyle { frac {100} {2}}}

= 50 cm².

Del 2

Ytterligare information

Beräkna diagonalen av en fyrkant med utgångspunkt från längden på ena sidan. Pythagorasatsen tillämpades på en fyrkant som har en sida i längd l och en diagonal av längd d tillhandahåller följande formel:

{ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}}

. Lösning av ekvationen under övervägande baserad på d och veta längden på sidan l diagonalmätningen erhålls:

${ displaystyle 2s ^ {2} = d ^ {2}}$
${ displaystyle { sqrt {2s ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}}$
${ displaystyle s { sqrt {2}} = d}$ .
Till exempel, förutsatt att man studerar en kvadrat vars sidor mäter 7 cm, kommer den relativa diagonalen att vara lika med ${ displaystyle d = 7 { sqrt {2}} { text {cm}}}$ , det vill säga ca 9,9 cm.
Om du inte har en räknare tillgänglig kan du använda ungefär 1,4 värdet som en ersättning för räknaren ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ .

Beräknar längden på sidan av en fyrkant med utgångspunkt från längden på diagonalen. Om du vet storleken på en kvadratisk diagonal, vet du att den är lika med

{ displaystyle l { sqrt {2}}}

, var l är längden på en av sidorna, du kan dela båda medlemmarna av ekvationen av

{ displaystyle { sqrt {2}}}

erhålla

{ displaystyle l = { frac {d} { sqrt {2}}}}

Om du antar att du har en kvadrat vars diagonala mått är 10 cm, kommer sidorna att vara lika med

{ displaystyle { frac {10} { sqrt {2}}} = 7,07 { text {cm}}}

Om du behöver beräkna både området och längden på sidan av en kvadrat med utgångspunkt från diagonalmätningen kan du använda denna formel för att hitta längden på en sida och sedan höja den till torget för att hitta området:

{ displaystyle A = l ^ {2} = 7,07 ^ {2} = 50 { text {cm}} ^ {2}}

. Denna process ger ett något mindre precist resultat, med tanke på att

{ displaystyle { sqrt {2}}}

Det är ett irrationellt tal som innebär ett avrundningsfel när det blir ett decimaltal.

Analysera formeln för att beräkna ytan på en kvadrat. Det matematiska beviset på formeln för att beräkna ytan på en kvadrat

{ displaystyle A = { frac {d ^ {2}} {2}}}

indikerar att det är korrekt, men finns det ett sätt att direkt verifiera dess noggrannhet? därför,

{ displaystyle d ^ {2}}

representerar området för en andra kvadrat som har diagonalen av den första som en sida- med tanke på att den fullständiga formeln är

{ displaystyle A = { frac {d ^ {2}} {2}}}

, det härleds att den andra kvadraten har ett område som är exakt lika med dubbelt den ursprungliga. Du kan själv verifiera detta begrepp:

Rita en kvadrat på ett enkelt pappersark. Se till att alla sidor är lika långa.

Mät längden på diagonalen. Rita nu en andra kvadrat som har sidor av längd lika med det numret.

Rita en identisk kopia av den första torget du ritade. Skär nu alla tre rutorna på arket.

Klipp ut de två mindre rutorna i vilken form som helst du vill, så att de enkelt kan placeras inom den större rutan. De borde fylla ledigt utrymme perfekt och verkligen visa att området på det största torget är exakt dubbelt så stort som det minsta torget.

tips

Om du inte har en räknare och du behöver få ett mycket korrekt resultat av radikalen ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ , denna wikiHowartikel Det kommer att vara till stor hjälp. Ett sätt att manuellt beräkna värdet av en radikal är att använda metoden "Newton-Raphson", även känd som "muta metod".
Denna enkla ekvation används i olika delar av det verkliga livet, såsom kristallografi, kemi och konst. Du kan exempelvis använda det för att beräkna områdets yta under en topografisk undersökning eller ett landskap som du vill fotografera eller måla i perspektiv. För att göra detta, mät helt enkelt det avstånd som reste genom att gå och föreställa sig att det är diagonal av en hypotetisk gitter.
Om du föredrar att använda en mer visuell inställning till matematik eller helt enkelt vill lära dig hur du använder galler och grafik i den konstnärliga klänningen, gör en noggrann sökning inom artiklarna från wikiHow.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade