Hur man löser andra graden av ojämlikhet

Den klassiska formen av en andra graders ojämlikhet är: yXA² + bx + c < 0 (o > 0). Att lösa ojämlikheten innebär att hitta värdena för det okända x för vilka ojämlikheten visar sig vara sann - dessa värden utgör uppsättningen lösningar uttryckt som ett intervall. Det finns tre huvudmetoder: raklinjen och verifieringspunktmetoden, den algebraiska metoden (vanligaste) och den grafiska.

Del 1

Fyra steg för att lösa andra graden av ojämlikhet

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 1

Steg 1 Transformera ojämlikheten till en trinomial funktion f (x) till vänster och lämna 0 till höger.

Exempel. Ojämlikheten: x(6x + 1) < 15 transformeras till en trinom på detta sätt: f (x) = 6x² + x - 15 < 0.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 2

Steg 2 Lös den andra graders ekvationen för att få de riktiga rötterna. I allmänhet kan en andra graders ekvation ha noll, en eller två reella rötter. Du kan:

använd den resolutionsformeln för ekvationerna i andra graden eller kvadratisk formel (den fungerar alltid)

sönderdelas till faktorer (om rötterna är rationella)

slutför torget (arbetar alltid)

rita grafen (med approximation)

fortsätt genom försök (genväg för faktor sönderdelning).

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 3

Steg 3. Lösa andra gradens olikhet baserat på värdena för de två reella rötterna.

Du kan välja en av följande metoder:

Metod 1: Använd rak linje och verifieringspunktmetod. De två riktiga rötterna är markerade på siffrorna och delar upp det i ett segment och två strålar. Använd alltid ursprunget O som en verifieringspunkt. Ersätt x = 0 i den angivna kvadratiska inequationen. Om det är sant placeras ursprunget på rätt segment (eller radie).

Obs. Med den här metoden kan du använda en dubbel rad, eller till och med en trippel linje, för att lösa system med 2 eller 3 kvadratiska ojämlikheter i en variabel.

Metod 2. Använd teorem på tecknet på f (x) om du har valt den algebraiska metoden. En gång studerat utvecklingen av stämningen tillämpas den för att lösa olika ojämlikheter i andra ordningen.

Teorin på tecknet på f (x):

Mellan 2 reella rötter har f (x) motsatt tecken till a-vilket innebär att:

Mellan 2 reella rötter är f (x) positiv om a är negativ.

Mellan 2 reella rötter är f (x) negativ om a är positiv.

Du kan förstå stolen genom att titta på korsningarna mellan parabolen, grafen för funktionen f (x) och axlarna på x. Om a är positivt pekar skålen uppåt. Mellan de två skärningspunkten med x är en del av parabolen under axlarna av x, vilket betyder att f (x) är negativt i detta intervall (motsatt till a till).

Denna metod kan vara snabbare än linjenummeret eftersom det inte kräver att du ritar det varje gång. Vidare bidrar det till att skapa en tabell med tecken för upplösning av andra ordningens ojämlikhetssystem genom den algebraiska metoden.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 4

Steg 4. Uttryck lösningen (eller uppsättningen lösningar) i form av intervaller.

Exempel på intervaller:

(a, b), öppet intervall, de 2 ytterligheterna a och b ingår ej

[a, b], stängt intervall, de 2 ytterligheterna ingår

(-infinit, b), halvt sluten intervall, den extrema b ingår.

Anm. 1. Om den andra gradens ojämlikhet inte har några riktiga rötter, (diskriminerande Delta < 0), f (x) är alltid positiv (eller alltid negativ) beroende på tecknet på till, vilket innebär att uppsättningen lösningar antingen är tom eller kommer att utgöra hela raden av reella tal. Om istället discriminating Delta = 0 (och följaktligen olikheten har en dubbel rot) kan lösningarna vara: tom mängd, enda punkt, uppsättning av reella tal {R} minus en punkt eller hela uppsättningen av reella tal.

Exempel: Lös f (x) = 15x ^ 2 - 8x + 7 > 0.

Lösning. Diskriminanten Delta = b ^ 2 - 4ac = 64 - 420 < 0. Det finns inga riktiga rötter. Som en positiv är f (x) alltid positiv (> 0) oberoende av värdena på x. Ojämlikhet är alltid sant.

Exempel: Lös f (x) = -4x ^ 2 - 9x - 7 > 0.

Lösning. Diskriminanten Delta = 81 - 112 < 0. Det finns inga riktiga rötter. Eftersom a är negativt är f (x) alltid negativt, oberoende av värdena på x. Ojämlikhet är alltid inte sant.

Not 2. När olikheten innefattar också ett likhetstecken (=) (större än och lika med eller mindre än och lika med), för användning som slutna intervall [-4.10] för att indikera att de två ytterligheterna är inkluderade i uppsättningen av lösningar. Om ojämlikheten är strikt större eller strängt mindre, använd öppna intervall som (-4, 10) eftersom extremiteterna inte ingår.

Del 2

Exempel 1

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 5

Lös: 15 > 6x² + 43x.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 6

Vrid ojämlikheten till en trinomial. f (x) = -6x² - 43x + 15 > 0.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 7

Lös upp f (x) = 0 för försök igen.

Teckenregeln säger att 2 rötter har motsatta tecken om den konstanta termen och koefficienten för x² de har motsatta tecken.

Skriv uppsättningarna av sannolika lösningar: {-3/2, 5/3}, {-1/2, 15/3}, {-1/3, 15/2}. Produkten från täljare är den konstanta termen (15) och produktens beteckningar är termens koefficient x²: 6 (alltid positiva nämnare).

Beräknar cross-summen av varje uppsättning rötter, möjliga lösningar, lägger till den första täljaren multiplicerad med den andra nämnaren till den första nämnaren multiplicerad med den andra täljaren. I detta exempel är de korsade summorna (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27 och (-1) * (2) + (3) * (15) = 43. Eftersom korsningen av lösningen måste vara lika med -b* Sign (till) där b är koefficienten för x och till är koefficienten för x², Vi väljer den tredje uppsättningen men vi måste utesluta båda lösningarna. De 2 riktiga rötterna är: {1/3, -15/2}

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 8

Använd teorem för att lösa ojämlikheten. Mellan de två riktiga rötterna

f (x) är positiv, motsatt tecken till till = -6. Utanför detta intervall f (x) är negativ. Eftersom den ursprungliga ojämlikheten hade en smal ojämlikhet använder den det öppna intervallet för att utesluta ytterligheterna där f (x) = 0.

Lösningen är intervallet (-15/2, 1/3).

Del 3

Exempel 2

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 9

Lös: x (6x + 1) < 15.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 10

Vänd inequation till: f (x) = 6x ^ 2 + x - 15 < 0.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 11

De två rötterna har motsatt tecken.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 12

Skriv de sannolika rötterna: (-3/2, 5/3) (-3/3, 5/2).

Diagonal summan av den första uppsättningen är 10 - 9 = 1 = b.

De 2 riktiga rötterna är 3/2 och -5/3.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 13

Välj nummerlinjemetod för att lösa ojämlikheten.

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 14

Välj O-ursprunget som verifieringspunkt. Ersätt x = 0 i ojämlikheten. Det kommer ut: - 15 < 0. Det är sant! Ursprunget ligger därför på det sanna segmentet och uppsättningen lösningar är intervallet (-5/3, 3/2).

Bildnamn Lös kvadratiska ojämlikheter Steg 15

Metod 3 Lös ojämlikheten i andra graden genom att teckna grafen.

Konceptet med den grafiska metoden är enkel. När parabolen, grafen för funktionen f (x), ligger ovanför axlarna (eller axeln) på x, är trionet positiv och vice versa, när den är under, är negativ. För att lösa andra gradens ojämlikhet behöver du inte rita parabolkortet noggrant. Baserat på de två riktiga rötterna kan du till och med bara göra en ungefärlig skiss. Se bara till att skålen pekar rätt nedåt eller uppåt.

Med den här metoden kan du lösa system med 2 eller 3 kvadratiska ojämlikheter, tecknet på 2 eller 3 paraboler på samma koordinatsystem.

tips

Under provet eller tentamen är tiden tillgänglig alltid begränsad och du måste hitta uppsättningen lösningar så snabbt som möjligt. Välj alltid som verifieringspunkten ursprunget x = 0, (om inte 0 är en rot), eftersom det inte finns någon tid att kolla med andra punkter, eller för att faktor andra graders ekvation, montera igen De två riktiga rötterna i par, eller diskutera tecken på de två binomialerna.
Obs. Om testet eller undersökningen är strukturerad med flera svarsalternativ, och kräver inte en förklaring av den metod som används, är det lämpligt att lösa ojämlikhet kvadratalgebraiska metod eftersom det är snabbare och kräver inte ritningen av linjen.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade