Hur man löser linjära algebraiska ekvationer med flera okända

Linjära ekvationer med fler okända är ekvationer med två eller flera variabler (vanligtvis representerade av "x" och "y"). Det finns olika sätt att lösa dessa ekvationer, inklusive borttagning och substitution.

Metod 1

Förstå komponenterna i linjära ekvationer

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 1

Vad är ekvationerna för de flesta okända? Två eller flera linjära ekvationer grupperade tillsammans kallas ett system. Detta innebär att ett system av linjära ekvationer uppträder när två eller flera linjära ekvationer löses samtidigt. Till exempel:

8x - 3y = -3
5x - 2y = -1
Dessa är två linjära ekvationer som du måste lösa samtidigt, dvs du måste använda båda ekvationerna för upplösningen.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 2

Du måste hitta värdena för variablerna, eller okända. Lösningen på ett problem med linjära ekvationer är ett par tal som gör båda ekvationerna sanna.

I vårt exempel försöker du hitta de numeriska värdena för `x` och `y` som gör båda ekvationerna sanna. I exemplet x = -3 och y = -7. Ange dem i ekvationen. 8 (-3) -3 (-7) = -3. Det är sant. 5 (-3) -2 (-7) = -1. Detta är också sant.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 3

Vad är en numerisk koefficient? Den numeriska koefficienten är helt enkelt ett tal som föregår en variabel. Du använder numeriska koefficienter om du väljer att använda raderingsmetoden. I vårt exempel är de numeriska koefficienterna:

8 och 3 i den första ekvationen - 5 och 2 i den andra ekvationen.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 4

Lär dig skillnaden mellan upplösning genom eliminering och upplösning genom substitution. Vid användning av eliminering metod för att lösa linjära ekvations med flera okända, du bli av med en av de variabler som du arbetar (till exempel, `X`) för att kunna hitta den andra variabelvärde (y) . När du hittar värdet på `y`, sätt det in i ekvationen för att hitta en av `x` (oroa dig inte: vi kommer att se det i detalj i metod 2).

Använd istället substitutionsmetoden när du börjar lösa en ekvation så att du kan hitta värdet av en av de okända. Efter att du har löst det kommer du att lägga resultatet i den andra ekvationen, skapa en längre ekvation i stället för att ha två mindre. Återigen, oroa dig inte: vi kommer att se det i detalj i metod 3.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 5

Det kan finnas linjära ekvationer med tre eller fler okända. Du kan lösa en ekvation med tre okända på samma sätt som de med två okända är löst. Du kan använda både eliminering och ersättning - det tar lite mer arbete för att hitta lösningarna, men proceduren är densamma.

Metod 2

Lös en linjär ekvation med radering

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 6

Observera ekvationerna. För att lösa dem måste du lära känna igen ekvationens komponenter. Vi använder det här exemplet för att lära oss att eliminera de okända:

8x - 3y = -3
5x - 2y = -1

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 7

Välj en variabel som ska raderas. För att eliminera en variabel måste dess numeriska koefficient (antalet före variabeln) vara motsatt den andra ekvationen (till exempel 5 och -5 är motsatta). Syftet är att bli av med en okänd kvantitet för att hitta värdet av den andra och eliminera en genom subtraktion. Detta innebär att se till att koefficienterna för samma okända i båda ekvationerna avbryter varandra. Till exempel:

I 8x - 3y = -3 (ekvation A) och 5x - 2y = -1 (ekvation B), kan du multiplicera ekvationen för A 2 och ekvationen B för 3, för att erhålla ekvationen A och 6y 6y i ekvationen B.

Ekvation A: 2 (8x - 3y = -3) = 16x-6y = -6.

Ekvation B: 3 (5x - 2y = -1) = 15x-6y = -3

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 8

Lägg till eller subtrahera de två ekvationerna för att eliminera en av de okända och lösa den för att hitta värdet av det andra. Nu när en av de okända kan elimineras kan du göra det med tillägg eller subtraktion. Vilket som ska användas beror på vad som behövs för att eliminera det okända. I vårt exempel använder vi subtraktion, eftersom vi har 6 i båda ekvationerna:

(16x - 6y = -6) - (15x - 6y = -3) = 1x = -3. Därför x = -3.

I andra fall, om den numeriska koefficienten x inte är 1 efter tillsättning eller subtraktion, måste vi dela båda sidorna av ekvationen med koefficienten själv för att förenkla ekvationen.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 9

Ange värdet som erhållits för att hitta värdet på den andra okända. Nu när du har hittat värdet på `x` kan du lägga det i den ursprungliga ekvationen för att hitta värdet på `y`. När du ser att det fungerar i en av ekvationerna kan du försöka infoga den i den andra för att kontrollera resultatet av korrektheten:

Ekvation B: 5 (-3) - 2y = -1 då -15 -2y = -1. Lägg till 15 på båda sidor och få -2y = 14. Dela båda sidorna med -2 och få y = -7.

Därför är x = -3 och y = -7.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra steg 10

Ange de värden som erhållits i båda ekvationerna för att se till att de är korrekta. När du har hittat värdena för de okända, ange dem i originalekvationerna för att se till att de är korrekta. Om en av ekvationerna inte är sann med de värden du hittat måste du försöka igen.

8 (-3) - 3 (-7) = -3 då -24 +21 = -3 SANT.

5 (-3) -2 (-7) = -1 då -15 + 14 = -1 TRUE.

Så, de värden du har fått är korrekta.

Metod 3

Lös en linjär ekvation med ersättningen

Bildtitel Lös multivariabla linjära ekvationer i algebra steg 11

Börja med att lösa en av ekvationerna för en av variablerna. Det spelar ingen roll vilken ekvation du väljer att börja med eller vilken variabel du väljer att hitta först: i alla fall kommer du att få samma lösningar. Det är dock bättre att göra processen så enkelt som möjligt. Du bör börja med ekvationen som verkar lättare att lösa. Så om det finns en ekvation med en koefficient av värde 1, som x - 3y = 7, kan du börja med den här, eftersom det blir lättare att hitta `x`. Till exempel är våra ekvationer:

x - 2y = 10 (ekvation A) och -3x-yy = 10 (ekvation B). Du kan börja lösa x - 2y = 10 eftersom koefficienten x i denna ekvation är 1.
Lösning för x ekvation A skulle innebära att 2y läggs till båda sidor. Så x = 10 + 2y.

Bildtitel Lös multivariabla linjära ekvationer i algebra Steg 12

Ersätt vad du fick i steg 1 i den andra ekvationen. I det här steget måste du ange (eller ersätta) lösningen som hittades för "x" i ekvationen du inte använde. Det här låter dig hitta den andra okända, i det här fallet "y". Prova:

Anger `x` i ekvationen av ekvationen B A: -3 (10 + 2y) -4y = 10. Som man kan se, har vi eliminerat `x` från ekvationen och sattes den till vilken `x` är den samma.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra Steg 13

Hitta värdet av den andra okända. Nu när du har eliminerat en av de okända från ekvationen kan du hitta den andras värde. Det är helt enkelt en fråga om att lösa en normal linjär ekvation med en okänd faktor. Vi löser det i vårt exempel:

-3 (10 + 2y) -4y = 10 so -30-6y-yy = 10.

Summa y: -30 - 10y = 10.

Flytta -30 på andra sidan (ändra tecknet): -10y = 40.

Lös för att hitta y: y = -4.

Bildtitel Lös multivariabla linjära ekvationer i algebra Steg 14

Hitta den andra okända. För att göra detta anger du värdet för `y` (eller det första okända) som du hittade i en av de ursprungliga ekvationerna. Lös sedan det för att hitta värdet av det andra okända, i det här fallet "x". Låt oss försöka:

Hitta "x" i ekvation A genom att ange y = -4: x - 2 (-4) = 10.

Förenkla ekvationen: x + 8 = 10.

Lös för att hitta x: x = 2.

Bildnamn Lös multivariabel linjära ekvationer i algebra Steg 15

Kontrollera att de värden du funnit fungerar i alla ekvationer. Ange båda värdena i varje ekvation för att se till att du får riktiga ekvationer. Låt oss se om våra värden fungerar:

Ekvation A: 2 - 2 (-4) = 10 är sant.

Ekvation B: -3 (2) -4 (-4) = 10 är sant.

tips

Var uppmärksam på tecknen - eftersom många grundläggande operationer används, kan teckenförändringen förändras varje steg i beräkningarna.
Kontrollera de slutliga resultaten. Du kan göra detta genom att ersätta de värden som erhållits för motsvarande variabler i alla de ursprungliga ekvationerna - om resultaten av båda sidor av ekvationen sammanfaller, är de resultat du har hittat korrekta.

Visa mer ... (3)

Dela på sociala nätverk:

Relaterade