Så här hittar du inversionen av en kvadratisk funktion

Att beräkna inversen av en kvadratisk funktion är enkel: det är tillräckligt att ange ekvationen med avseende på x och ersätta y med x i det resulterande uttrycket. Hitta inversen av en kvadratisk funktion är mycket svårt, särskilt eftersom de kvadratiska funktioner är bijektiva funktioner, med undantag för en begränsad lämplig domän.

steg

Explicit respekt y eller f (x) om det inte redan är så. Under dina algebraiska manipuleringar ändrar inte funktionen på något sätt och utför samma operationer till båda elementen i ekvationen.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 2

Ställ in funktionen i formen y = a (x-h)²+k. Detta är inte bara grundläggande för att hitta invers av funktionen, men också för att bestämma om funktionen faktiskt har en invers. Du kan göra det med två metoder:

Slutför torget

"Samla den gemensamma faktorn a" från alla ekvationsvillkor (koefficienten x²). Gör det genom att skriva värdet på till, öppna en parentes och skriva hela ekvationen och sedan dela varje term med värdet av till, som visas i diagrammet till höger. Lämna vänster sida av ekvationen oförändrad, eftersom vi inte har gjort några reala förändringar av värdet av högra medlemmen.

Slutför torget. Koefficienten för x är (b / a). Dela upp det i halvt (b / 2a) och höja det till torget för att få (b / 2a)². lägga till den och subtrahera den från ekvationen. Detta har ingen modifierande effekt på ekvationen. Om du tittar noggrant ser du att de första tre terminerna inom parentesen finns i formen a²+2ab + b², var till det är x, och b det är (B / 2a). Självklart kommer dessa termer att vara numeriska och inte algebraiska för en riktig ekvation. Detta är ett färdigt kvadrat.

Eftersom de första tre terminerna nu utgör en perfekt kvadrat, kan du skriva dem i formuläret (a-b)² o (a + b)². Tecknet mellan de två termerna kommer att vara samma tecken som x-koefficienten i ekvationen.

Ta termen som ligger utanför det perfekta torget, från torget parenteserna. Detta ger ekvationen en form y = a (x-h)²+k, som önskat.

Jämförelse av koefficienterna

Skapa en identitet i x. Till vänster anger du funktionen som den uttrycks i form av x, och till höger anger du funktionen i önskad form, i det här fallet a (x-h)²+k. Det här låter dig hitta värdena på a, h och k som är bra för alla x-värden.

Öppna och utveckla parentesen till rätt medlem i identiteten. Vi borde inte röra den vänstra sidan av ekvationen, och vi kunde utelämna det från vårt arbete. Observera att allt arbete som görs på höger sida det är algebraisk som visas och inte numerisk.

Identifierar koefficienterna för varje kraft av x. Gruppera dem sedan och placera dem i parentes, som visas till höger.

Jämför koefficienterna för varje kraft av x. Koefficienten av x² av rätt medlem måste vara densamma som den på vänster sida. Detta ger oss värdet av a. X-koefficienten för den högra delen ska vara lika med den för den vänstra delen. Detta leder till bildandet av en ekvation i a och i h, som kan lösas genom att ersätta värdet av a, som redan har hittats. Koefficienten av x⁰, eller 1 av den vänstra delen måste vara lika med den för den högra delen. Genom att jämföra dem får du en ekvation som hjälper oss att hitta värdet på k.

Med hjälp av värdena på a, h och k som hittats ovan kan vi skriva ekvationen i önskad form.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 3

Se till att värdet på h ligger antingen inom domänens gränser eller ute. Värdet av h ger oss x-koordinaten för funktionens stationära punkt. En stationär punkt inom domänen skulle innebära att funktionen inte är vedektiv, så den har inte en invers. Observera att ekvationen är en (x-h)²+k. Så om det fanns (x + 3) inuti parentesen skulle värdet av h vara -3.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 4

Explicit formel-respekt (x-h)². Gör detta genom att subtrahera värdet på k från båda ekvationsmedlemmarna och dela sedan båda medlemmarna av a. Vid denna tidpunkt skulle jag ha de numeriska värdena för a, h och k, så använd dem och inte symbolerna.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 5

Extrakt kvadratroten av båda elementen i ekvationen. Detta kommer att eliminera den kvadratiska effekten från (x - h). Glöm inte att skriva in tecknet "+/-" på andra sidan ekvationen.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 6

Bestäm mellan + -tecknet och -tecknet, eftersom du inte kan behålla båda (att hålla dem båda skulle ha en "funktion" en till många, vilket skulle göra det ogiltigt). För att göra detta, observera domänen. Om domänen är till vänster om den stationära punkten, t.ex. x < ett visst värde, använd tecknet -. Om domänen är till höger om den stationära punkten, t.ex. x > ett visst värde, använd + tecknet. Därefter, uttrycka formeln med avseende på x.

Bildnamn Hitta inversionen av en kvadratisk funktion Steg 7

Byt y med x och x med f^-1(x), och gratulera dig med att ha lyckats hitta inversen av en kvadratisk funktion.

tips

Kontrollera back beräkningen av värdet av f (x) till ett värde av X, och sedan ersätta värdet av f (x) nell`inversa för att se om den returnerar det ursprungliga värdet för x. Om exempelvis funktionen 3 [f (3)] är 4, ersätter du 4 i den inverse bör du få 3.
Om det inte är så problematiskt kan du också se omvänden genom att analysera diagrammet. Den ska se ut som den ursprungliga funktionen som reflekteras med avseende på y = x-axeln.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade