Hur man löser högre polynomier

Grundläggande teorem för algebra säger att ett polynom med komplexa koefficienter har lika många rötter som sin grad. Även om högre grad polynomials dessa kan inte alltid hittas algebra kommer de metoder som beskrivs här gör det möjligt att hitta alla rationella rötter och i vissa fall en del av de irrationella eller komplexa rötter. Andra kan beräknas numeriskt.

steg

Hitta den maximala gemensamma divisoren (MCD). Till exempel, i polynomet 5x ^ 3 ^ 2 + 15x + 100x + 20, är varje koefficient en multipel av 5. Därför kan ekvationen förenklas genom uppdelning för att erhålla 5 (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4) som har samma rötter som x ^ 3 + 3x ^ 2 + 20x + 4.

Alla andra gradens polynom kan lösas algebraiskt. Bryt ner i faktorer, om du kan göra det snabbt. annars använder den resolutionsformeln för kvadratiska ekvationer. Tips: titta på den del av ekvationen som kallas diskriminerande (delen b ^ 2-4ac under rot i resolutionsformeln för andra graders ekvationer). Dess utvärdering visar på lösningarna. Till exempel, om resultatet är positivt, det finns två reella lösningar, om resultatet är 0 finns det bara en lösning eftersom den kvadratiska ekvationen är en perfekt kvadrat, om diskriminantanalys är negativ, lösningarna är komplexa konjugat (a + bi och a-bi). Dessa är ekvationer som inte kan delas upp i verkliga faktorer, som de alltid berättar för dig i algebraklassen. Multiplicera (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 enligt "summan av kvadraterna".

Bildnamn Lös polynomier med högre grader Steg 3

Använd Descartes-regeln för att bestämma tecknet på riktiga rötter. Denna regel innehåller numret maximala av negativa och positiva riktiga rötter. De kan också vara lägre för ett heltal multipel av 2.

Räkna ändringstecknet (när tecknet ändras från positivt till negativt): + x ^ 2 - x + 6 har två teckenförändringar vilket innebär att det finns antingen 2 eller 0 positiva rötter (i detta fall 0, eftersom den kvadratiska formeln visar att båda rötterna är komplexa).

Sätt minustecknet framför varje x: (-x) ^ 2 - (- x) + 6. Förenkla: x ^ 2 + x + 6. Räkna tecknet ändringar eller hitta antalet negativa reella rötter. Detta polynom har 0 negativa rötter.

Bildnamn Lös polynomier med högre grad Steg 4

Försök med rationella rötter. De möjliga rationella rötterna är p / q där p är en divisor av den kända termen och q är en divisor av koefficienten för högsta graden variabel. Använd Ruffinis regel att testa var och en av de rationella rötterna. Var noga med att kontrollera både de positiva och de negativa, om du inte vet från Descartes regel att antingen positiva riktiga rötter eller verkliga negativa rötter är omöjliga.

Bildnamn Lös polynomier med högre grad Steg 5

Om du misstänker att polynomet har en dubbel rot, beräkna MCD av polynomet och dess första derivat. Om MCD är en konstant, så kommer alla rötter att skilja sig. Om MCD är högre än en, så har du hittat en faktor vars rötter är multiplarna av rötterna till det ursprungliga polynomet.

tips

När du löser ett problem, var noga med att skriva ner alla steg och dubbelkolla dem för fel.
För tredje och fjärde graders ekvationer finns formler som liknar den kvadratiska en men de är mycket mer komplexa och i allmänhet används de endast av datorer. Polynomier av grad 5 eller högre kan vanligen inte lösas om de inte är indelade i faktorer.
Efter att ha hittat en rot eller en faktor, dela upp det ursprungliga polynomet för den irreducerbara polynomen av den roten (detta minskar graden och hjälper till att hitta de andra rötterna). Om sökandet efter rationella rötter av x ^ 3-1 leder till x = 1 då (x ^ 3-1) / (x-1) = x ^ 2 + x + 1 som innehåller de andra rötterna. Detta är också ett sätt att verifiera ditt arbete. Om du tror att x = 3 är en lösning, men du kan inte dela de ursprungliga polynomet (x-3) utan vila, då du har gjort ett misstag.
Det finns flera sätt att hitta nollor. Några av dessa fungerar endast i specifika fall, och du vet inte om de kommer att hjälpa dig med ditt polynom tills du försöker dem. Därför är det bästa att veta så många metoder som möjligt: en av dessa kommer att fungera!
Villkoren rötter, nollor och lösningar de hänvisar alla till värdena på x som uppfyller denna ekvation f (x) = 0. De kan användas omväxlande.

varningar

Använd en penna!
Var försiktig och var noga med att kolla ditt arbete två gånger så att du inte saknar misstag.
Om du hittar ett imaginärt tal, glöm inte att det kommer att finnas en rot som motsvarar det numret och en till hela konjugatet. Om (x-3i) är en lösning blir det också (x + 3i).
När du delar in, glöm inte att använda både positiva och negativa faktorer.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade