Hur man faktoriserar ett kubiskt polynom

I den här artikeln förklaras hur man faktor till ett tredje gradens polynom. Vi kommer att undersöka hur man faktoriserar med minnet och med faktorerna i den kända termen.

Del 1

Factorization for recollection

Gruppera polynomet i två delar: Detta gör att vi kan hantera varje del separat.

Antag att vi arbetar med polynom x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. Låt oss gruppera den i (x³ + 3x²) och (- 6x - 18)

I alla delar hitta den gemensamma faktorn.

I fallet med (x³ + 3x²), x² det är den gemensamma faktorn.

I fallet med (- 6x - 18) är -6 den gemensamma faktorn.

Samla delarna gemensamt utifrån de två termerna.

Samlar x² i det första avsnittet får vi x²(x + 3).

Samlar -6, vi kommer att ha -6 (x + 3).

Om varje av de två termerna innehåller samma faktor kan du kombinera faktorerna med varandra.

Detta kommer att ge (x + 3) (x² - 6).

Hitta lösningen genom att betrakta rötterna. Om du har x i dina rötter², kom ihåg det båda positiva negativa tal uppfyller den ekvationen.

Lösningarna är 3 och √6.

Del 2

Factorisering med känt begrepp

Skriv om uttrycket så att det ligger i formen aX³+bX²+CX + d.

Antag att vi arbetar med ekvationen: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.

Hitta alla faktorer av d. Konstanten d det är det numret som inte är kopplat till någon variabel.

Faktorerna är de nummer som multiplicerar varandra ger ett annat nummer. I vårt fall är faktorerna 10, o d, de är: 1, 2, 5 och 10.

Hitta en faktor som gör polynomet lika med noll. Vi vill fastställa vad som är den faktor som ersatt x i ekvationen gör det polynomet lika med noll.

Låt oss börja med faktor 1. Vi ersätter 1 i alla x i ekvationen:
(1)³ - 4 (1)² - 7 (1) + 10 = 0

Det följer att: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.

Eftersom 0 = 0 är ett sant uttalande, vet vi att x = 1 är lösningen.

Fixa saker lite. Om x = 1 kan vi ändra påståendet lite för att få det att se lite annorlunda ut utan att ändra dess betydelse.

x = 1 det är detsamma som att säga x - 1 = 0 eller (x - 1). Vi subtraherade oss helt enkelt 1 på båda sidor av ekvationen.

Faktorerar roten till resten av ekvationen. Vår rot är "(x - 1)". Låt oss se om det är möjligt att samla det utanför resten av ekvationen. Tänk på ett polynom åt gången.

Det är möjligt att samla (x - 1) från x³? Nej, det är inte möjligt. Vi kan dock ta -x² från den andra variabeln - vi kan nu bryta ner det i faktorer: x²(x - 1) = x³ - x².

Är det möjligt att samla (x - 1) från vad som återstår av den andra variabeln? Nej, det är inte möjligt. Vi måste ta tillbaka något från den tredje variabeln. Vi tar 3x från -7x.

Detta kommer att ge -3x (x - 1) = -3x² + 3x.

Eftersom vi har tagit 3x från -7x, kommer den tredje variabeln nu att vara -10x och konstanten blir 10. Kan vi bryta ner det i faktorer? Ja, det är möjligt! -10 (x - 1) = -10x + 10.

Vad vi gjorde var omarrangera variablerna så att vi kunde samla (x - 1) i hela ekvationen. Här är den modifierade ekvationen: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, men det är detsamma som x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.

Fortsätt att byta ut för faktorer av den kända termen. Tänk på de siffror vi har sönderdelat med att använda (x - 1) i steg 5:

x²(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Vi kan skriva om för att göra faktorisering enklare: (x - 1)² - 3x - 10) = 0.

Här försöker vi bryta ner i faktorer (x² - 3x - 10). Sönderdelningen kommer att vara (x + 2) (x - 5).

Lösningarna kommer att vara de faktiska rötterna. För att kontrollera om lösningarna är korrekta kan du infoga dem en i taget i originalekvationen.

(x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Lösningarna är 1, -2 och 5.

Sätt -2 i ekvationen: (-2)³ - 4 (-2)² - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.

Ange 5 i ekvationen: (5)³ - 4 (5)² - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

tips

Ett kubiskt polynom är produkten av tre första grader polynomier, eller produkten av ett första grader polynom och ett annat polynom av en icke delbar faktor. I det sistnämnda fallet, för att hitta andra graden polynom, använder vi en lång division när första graden polynom är hittad.
Det finns inga kubiska polynom som inte kan delas mellan reella tal, eftersom varje kubiskt polynom måste ha en riktig rot. Kubiska polynomier som x ^ 3 + x + 1 som har en irrationell verklig rot kan inte inkorporeras i polynomier med heltal eller rationella koefficienter. Även om det kan förklaras med kubisk formel är det irreducerbart som ett polynom full.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade