Hur man löser trigonometriska ekvationer

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller en eller flera trigonometriska funktioner i variabeln x. Lösning för x betyder att hitta värdena för x som sätts in i den trigonometriska funktionen för att tillfredsställa den.

Lösningarna eller värdena på bågfunktionerna uttrycks i grader eller i radianer. Till exempel: x = π / 3 - x = 5π / 6 - x = 3π2 - x = 45 grader. - x = 37,12 grader. - x = 178,37 grader.
Obs! På enhetens trigonometriska cirkel är de trigonometriska funktionerna för varje båge samma trigonometriska funktioner i motsvarande vinkel. Den trigonometriska cirkeln definierar alla trigonometriska funktionerna på bågvariabeln x. Det används också som ett bevis för att lösa enkla trigonometriska ekvationer eller ojämlikheter.
Exempel på trigonometriska ekvationer:
sin x + sin 2x = 1/2 - tan x + cot x = 1,732
cos 3x + sin 2x = cos x - 2sin 2x + cos x = 1

Den enhetliga trigonometriska cirkeln.
Det är en cirkel med radie = 1 enhet, med O som sitt ursprung. Enhets trigonometriska cirkel definierar 4 huvud trigonometriska funktioner i variabelbågen x som roterar moturs mot den.
När bågen, med värde x, varierar på enhets trigonometrisk cirkel:
Den horisontella axeln OAx definierar den trigonometriska funktionen f (x) = cos x.
Den OBy vertikala axeln definierar den trigonometriska funktionen f (x) = sin x.
Den vertikala axeln AT definierar den trigonometriska funktionen f (x) = tan x.
Den horisontella axeln BU definierar den trigonometriska funktionen f (x) = cot x.

Enhets trigonometriska cirkel används också för att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer och ojämlikheter genom att beakta de olika positionerna på x-axeln på den.

steg

Känn begreppet upplösning.

För att lösa en trigonometrisk ekvation, vrid den till en av de grundläggande trigonometriska ekvationerna. Att lösa en trigonometrisk ekvation i slutet består av att lösa 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer.

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 2

Förstå hur man löser de grundläggande ekvationerna.

Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:

sin x = a - cos x = a

tan x = a - cot x = a

Att lösa de grundläggande trigonometriska ekvationerna består i att studera de olika positionerna i x-båggen på trigonometriska cirkeln och använda omvandlingstabellerna (eller räknaren). För att fullständigt förstå hur man löser dessa grundläggande ekvationer och liknande, se boken: "Trigonometri: Lösning av trig-ekvationer och ojämlikheter" (Amazon E-bok 2010).

Exempel 1. Lös sint x = 0,866. Konverteringstabellen (eller räknaren) returnerar lösningen: x = π / 3. Den trigonometriska cirkeln har en annan båge (2π / 3) som har samma värde för sinusen (0.866). Den trigonometriska cirkeln ger en oändlighet av andra lösningar som kallas förlängda lösningar.

x1 = π / 3 + 2k.Pi och x2 = 2π / 3. (Lösningar med period (0, 2π))

x1 = π / 3 + 2k Pi och x2 = 2π / 3 + 2k π. (Extended Solutions).

Exempel 2. Lös upp: cos x = -1/2. Kalkylatorn returnerar x = 2 π / 3. Den trigonometriska cirkeln ger en annan båg x = -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2k.Pi och x2 = - 2π / 3. (Lösningar med period (0, 2π)

x1 = 2π / 3 + 2k Pi och x2 = -2π / 3 + 2k.π. (Utökade lösningar)

Exempel 3. Lös upp: tan (x - π / 4) = 0.

x = π / 4 - (Lösningar med period π)

x = π / 4 + k Pi- (Extended Solutions)

Exempel 4. Lös: barnsäng 2x = 1,732. Kalkylatorn och den trigonometriska cirkeln återgår:

x = π / 12 - (Lösningar med period π)

x = π / 12 + k π - (Extended Solutions)

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 3

Lär dig de transformationer som ska användas för att förenkla de trigonometriska ekvationerna.

Att transformera en given trigonometrisk ekvation i en bas, med användning av vanliga algebraiska transformationer (faktorisering, gemensamma faktorer, polynom identitet, och så vidare), definitioner och egenskaper för trigonometriska funktioner och trigonometriska identiteter. Det finns cirka 31, inklusive den senaste 14 trigonometriska, 19-31, kallas Transformation Identitet, eftersom de används för att transformera trigonometriska ekvationer. Se boken som visas ovan.

Exempel 5: Den trigonometriska ekvation: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan omvandlas, med användning av trigonometriska identiteter, i en grundläggande trigonometriska ekvation produkt: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. de grundläggande trigonometriska ekvationer som måste lösas är: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - och cos (x / 2) = 0.

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 4

Hitta bågarna som motsvarar de kända trigonometriska funktionerna.

Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer behöver du veta hur man snabbt kan hitta bågarna med kända trigonometriska funktioner. Konverteringsvärden för bågar (eller vinklar) tillhandahålls av de trigonometriska tabellerna eller räknarna.

Exempel: Efter lösningen erhåller vi cos x = 0,732. Kalkylatorn ger oss lösningen båg x = 42,95 grader. Enhets trigonometriska cirkel kommer att ge en annan lösning: bågen som har samma värde som cosinusen.

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 5

Rita bågarna som är lösningen på den trigonometriska cirkeln.

Du kan rita bågarna på den trigonometriska cirkeln för att illustrera lösningen. De yttersta punkterna i dessa lösningskanter är regelbundna polygoner på den trigonometriska cirkeln. Till exempel:

Lösningens extrema punkter båg x = π / 3 + k.π / 2 bildar en kvadrat på trigonometriska cirkeln.

Lösningsbågarna x = π / 4 + k.π / 3 representeras av vertikalerna hos en vanlig hexagon på enhets trigonometrisk cirkel.

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 6

Lär dig metoderna för att lösa de trigonometriska ekvationerna.

Om den givna trigonometriska ekvationen endast innehåller en trigonometrisk funktion, lösa den som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om den givna ekvationen innehåller två eller flera trigonometriska funktioner finns det två sätt att lösa det, beroende på tillgängliga transformationer.

A. Tillvägagångssätt 1.

Transform ekvationen som ges i en produkt av formen: f (x) .g (x) = 0 eller f (x) .g (x) .h (x) = 0, där f (x), g (x) ) eh (x) är grundläggande trigonometriska funktioner.

Exempel 6. Lös: 2cos x + sin 2x = 0 (0 < x < 2π)

Lösning. Ersätt synd 2x med identiteten: sin 2x = 2 * sin x * cos x.

cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Därefter löser du de 2 grundläggande trigonometriska funktionerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.

Exempel 7. Lös upp: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)

Lösning: Gör det till en produkt, med användning av trigonometriska identiteter: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Därefter, lösa de två grundläggande trigonometriska ekvationer: cos 2x = 0, och (2cos x + 1) = 0.

Exempel 8. Lös: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2π)

Lösning. Omvandla den till en produkt, med användning av identiteten: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. lösa Då de 2 grundläggande trigonometriska ekvationer: cos 2x = 0, och (2sin x + 1) = 0.

B. Tillvägagångssätt 2.

Transformera den grundläggande trigonometriska ekvationen till en trigonometrisk ekvation som endast har en trigonometrisk funktion med variabel. Det finns två tips om hur du väljer rätt variabel. De vanliga variablerna att välja är: sin x = t-cos x = t-cos 2x = t, tan x = t och tan (x / 2) = t.

Exempel 9. Lös: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2pi).

Lösning. Ersätter ekvationen (cos ^ 2 x) med (1 - sin ^ 2 x), förenklar sedan ekvationen:

sin ^ 2 x - 2 - 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x = t. Ekvationen blir: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Det är en kvadratisk ekvation som har 2 reella rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra t2 ska kasseras som > 1. Lös sedan: t = sin = -1 -> x = 3π / 2.

Exempel 10. Lös: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.

Lösning. Ersätt tan x = t. Omvandla den givna ekvationen till en ekvation med variabel t: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. lösa den för t från denna produkt, sedan lösa de grundläggande trigonometriska ekvation tan x = t x.

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 7

Lös särskilda typer av trigonometriska ekvationer.

Det finns några speciella typer av trigonometriska ekvationer som kräver specifika transformationer. Exempel:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Bildnamn Lös triggometriska ekvationer Steg 8

Lär dig de periodiska egenskaperna hos trigonometriska funktioner.

Alla trigonometriska funktioner är periodiska, det vill säga de återvänder till samma värde efter en rotation av en period. Exempel:

Funktionen f (x) = sin x har 2π som en period.

Funktionen f (x) = tan x har π som en period.

Funktionen f (x) = sin 2x har π som en period.

Funktionen f (x) = cos (x / 2) har 4π som en period.

Om perioden anges i problemet / testet, behöver du bara hitta lösningsbågen (erna) x inom perioden.

OBS! Att lösa en trigonometrisk ekvation är en svår uppgift som ofta leder till fel och misstag. Därför måste svaren kontrolleras noggrant. Efter att ha fast, kan man styra lösningar med hjälp av ett diagram eller en kalkylator för att rita direkt den trigonometriska funktionen R (x) = 0. Svaren (verkliga rötter) kommer att ges i decimaler. Till exempel anges π av värdet 3.14.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade