Hur man bryter ner andra gradens polynom i faktorer (kvadratiska ekvationer)
Ett polynom innehåller en variabel (x) upptagen till en kraft, kallad "grad" och olika termer och / eller konstanter. Att demontera ett polynom betyder att minska uttrycket i mindre som multipliceras tillsammans. Det är en färdighet som lär sig i algebrakursen och kan vara svår att förstå om du inte är på den här nivån.
steg
start
1
Beställ ditt uttryck. Standardformatet för kvadratiska ekvationen är:yXA2 + bx + c = 0 Börja med att sortera villkoren för din ekvation från högsta till lägsta, precis som standardformatet. Till exempel tar vi:6 + 6x2 + 13x = 0 Vi omarrangerar detta uttryck genom att helt enkelt flytta villkoren så att det är lättare att lösa det:6x2 + 13x + 6 = 0
2
Hitta det fakturerade formuläret med hjälp av någon av metoderna nedan. Polynomens sönderdelning eller factoring resulterar i två mindre uttryck som kan multipliceras för att återgå till det ursprungliga polynomet:6 x2 + 13 x + 6 = (2 x + 3) (3 x + 2) I detta exempel är (2 x + 3) och (3 x + 2) faktorer av det ursprungliga uttrycket, 6x2 + 13 x + 6.
3
Kontrollera ditt arbete! Multiplicera de identifierade faktorerna. Därefter kombinerar du liknande villkor och du kommer att bli färdig. Börja med:(2 x + 3) (3 x + 2) Vi försöker att multiplicera varje term av det första uttrycket med varje sekundens term, vilket ger:6x2 + 4x + 9x + 6 Härifrån kan vi lägga till 4 x och 9 x eftersom de är alla liknande termer. Vi vet att våra faktorer är korrekta eftersom vi får utgångsekvationen:6x2 + 13x + 6
Metod 1
Fortsätt för RetriesOm du har ett ganska enkelt polynom kan du kanske förstå dess faktorer bara genom att titta på det. Till exempel, med praktik, kan många matematiker känna till det uttrycket 4 x2 + 4 x + 1 har som faktorer (2 x +1) och (2 x + 1) direkt efter att ha sett så många gånger. (Det här är uppenbarligen inte lätt med de mer komplicerade polynomerna.) I det här exemplet använder vi ett mindre vanligt uttryck:
1
Vi listar faktorerna i termen `a` och termen `c`. Använda uttrycksformatet yXA 2 + bx + c = 0, identifiera termerna `a` och `c` och lista vilka faktorer de har. För 3x2 + 2x - 8, betyder:a = 3 och har ett antal faktorer: 1 * 3 c = -8 och har fyra uppsättningar faktorer: 4 * -2, -4 * 2, -8 * 1 och -1 * 8.
2
Skriv två uppsättningar konsoler med ämnen. Du kan skriva in konstanterna inom det utrymme du lämnade i varje uttryck:(x) (x)
3
Fyll mellanslag framför x med ett par möjliga faktorer av värdet "a". För termen "a" i vårt exempel, 3 x2, det finns bara en möjlighet:(3x) (1x)
4
Fyll två platser efter x med ett par faktorer för konstanterna. Antag att du valde 8 och 1. Skriv dem:(3x 8) (X 1)
5
Bestäm vilka tecken (plus eller minus) ska vara mellan variablerna x och siffrorna. Enligt tecknen på det ursprungliga uttrycket är det möjligt att förstå vad tecknen på konstanter ska vara. Vi kommer att kalla "h" och "k" de två konstanterna för våra två faktorer:Om axel2 + bx + c då (x + h) (x + k) Om axel2 - bx - c eller ax2 + bx - c då (x - h) (x + k) Om axel2 - bx + c då (x - h) (x - k) För vårt exempel, 3x2 + 2x - 8, tecknen måste vara: (x - h) (x + k), med två faktorer:(3x + 8) och (x - 1)
6
Prova ditt val med multiplikation av termer. Ett snabbt test för att utföra är att se om minst den genomsnittliga termen är av rätt värde. Om det inte är det kan du ha valt fela faktorer. Vi kontrollerar vårt svar:(3 x + 8) (x-1) Multiplicera kommer vi till:3 x 2 - 3 x + 8x - 8 Genom att förenkla detta uttryck genom att lägga till termer som (-3x) och (8x) får vi:3 x2 - 3 x + 8x - 8 = 3 x2 + 5 x - 8 Vi vet nu att vi måste ha identifierat de felaktiga faktorerna:3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
7
Invertera dina val om det behövs. I vårt exempel låt oss försöka med 2 och 4 istället för 1 och 8:(3 x + 2) (x-4) Nu är vår term c är en -8, men vår externa / interna produkt (3x * -4) och (2 * x) är -12x och 2x, som inte kombineras för att göra termen korrekt b +2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x
8
Omvänd beställningen om det behövs. Låt oss försöka flytta 2 och 4:(3x + 4) (x - 2) Nu är vår term c (4 * 2 = 8) är fortfarande bra, men exteriör / interiörprodukterna är -6x och 4x. Om vi kombinerar dem:-6x + 4x = 2x 2x ≠ -2x Vi är nära nog 2x vi siktade på, men tecknet är fel.
9
Kontrollera tecknen igen om det behövs. Låt oss gå i samma ordning, men låt oss omvända den minst med:(3x - 4) (x + 2) Nu termen c Det är fortfarande bra och externa / interna produkter är nu (6x) och (-4x). eftersom:6x - 4x = 2x 2x = 2x Nu kan vi känna igen från den ursprungliga texten att 2x är positiv. De måste vara de rätta faktorerna.
Metod 2
haverierDenna metod identifierar alla möjliga faktorer i termen `a` och `c` och använder dem för att förstå vad faktorerna borde vara. Om siffrorna är mycket stora eller om de andra formlerna verkar ta för mycket tid, använd den här metoden. Vi använder exemplet:
1
Multiplicera termen till med termen c. I detta exempel, till det är 6 e c det är fortfarande 6.6 * 6 = 36
2
Hitta termen "b" med sönderdelning och försök. Vi letar efter två tal som är faktorer för "a" * `c` -produkten som vi har identifierat och lägger till termen `b` (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13
3
Ersätt de två siffrorna som erhållits i ekvationen som summan av termen `b`. Vi använder `k` och `h` för att representera de två siffrorna vi fått, 4 och 9:yXA2 + kx + hx + c 6x2 + 4x + 9x + 6
4
Vi fakturerar polynomet med grupperingen. Ordna ekvationen så att du kan få fram den största gemensamma faktorn mellan de två första terminerna och de två sista. Båda de återstående satsade grupperna borde vara lika. Lägg ihop de maximala gemensamma delarna och bifoga dem i parentes bredvid den faktiska gruppen - resultatet kommer att ges av dina två faktorer:6x2 + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)
Metod 3
Triple GameI likhet med sönderdelningsmetoden undersöker trippelmetoden de möjliga faktorerna för produkten `a` för `c` och använder dem för att förstå vad `b` borde vara. Tänk på detta exempel ekvation:
1
Multiplicera termen `a` med termen `c`. Som med sönderdelningsmetoden kommer detta att hjälpa oss att identifiera möjliga kandidater för termen "b". I detta exempel är `a` 8 och `c` är 2.8 * 2 = 16
2
Hitta två tal som har detta värde som en produkt och termen "b" som summa. Detta steg är identiskt med sönderdelningsmetoden - vi testar och exkluderar de möjliga konstanta värdena. Produkten av termen `a` och `c` är 16 och summan är 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10
3
Ta dessa två nummer och försök att ersätta dem i "triple game" -formeln. Ta våra två nummer från föregående passage - låt oss kalla dem `h` och `k` - och sätt dem i detta uttryck:((ax + h) (ax + k)) / a Vid denna tidpunkt skulle vi få:(8x + 8) (8x + 2)) / 8
4
Se om en av de två termen i täljaren är delbar med `a`. I detta exempel, är vi kontrollera om (x 8 + 8) eller (8 x + 2) kan delas med 8. (8 x + 8) är delbart med åtta, och sedan dela upp vi denna term för `a` och lämnar den andra som det är.(8 x + 8) = 8 (x + 1) Termen som hittas är vad som återstår efter att ha delat termen för `a`: (x + 1)
5
Extrahera den maximala gemensamma delaren från en eller båda termerna, om den existerar. I detta exempel har den andra termen en MCD på 2, eftersom 8 x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinera detta svar med termen som identifierades i föregående steg. Dessa är faktorerna i din ekvation.2 (x + 1) (4x + 1)
Metod 4
Skillnaden mellan två kvadraterVissa koefficienter av polynomier kan identifieras som "kvadrater" eller produkter med två siffror. Genom att identifiera dessa rutor kan du göra sönderdelningen av några polynomier mycket snabbare. Tänk på ekvationen:
1
Extrahera maximal gemensam divisor, om möjligt. I det här fallet kan vi se att 27 och 12 är båda delbara med 3, så vi får:27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
2
Försök att kontrollera om koefficienterna i din ekvation är rutor. För att använda denna metod bör du kunna göra kvadratroten av de perfekta rutorna. (Observera att vi släpper bort de negativa tecknen - eftersom dessa siffror är kvadrater kan de framställas med två negativa siffror eller två positiva siffror)9x2 = 3x * 3x och 4 = 2 * 2
3
Med hjälp av de kvadratiska rötterna som finns, skriv faktorerna. Vi tar värdena `a` och `c` från vår tidigare passage, `a` = 9 och `c` = 4, varefter vi hittar sina kvadratrotsar, √ `a` = 3 och √ `c` = 2. Dessa är koefficienterna för förenklade uttryck:27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metod 5
Kvadratisk formelOm allt annat misslyckas och ekvationen inte kan brytas ner, använd den kvadratiska formeln. Tänk på exemplet:
1
Ange motsvarande värden i kvadratisk formel:x = -b ± √ (b2 - 4ac) --------------------- 2a Vi får uttryck:x = -4 ± √ (42 - 4 • 1 • 1) / 2
2
Lös x Du borde få två x-värden. Såsom visas ovan får vi två svar:x = -2 + √ (3) och även x = -2 - √ (3)
3
Använd värdet av x för att hitta faktorerna. Ange värdena på x som erhållits som om de var konstanta i de två polynomuttryck. Dessa kommer att vara dina faktorer. Om vi kallar våra två svar "h" och "k" skriver vi de två faktorerna så här:(x - h) (x - k) I det här fallet är det vårt slutgiltiga svar:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
Metod 6
Använd en kalkylatorOm du är behörig att använda en grafisk räknare, gör det sönderdelningen mycket enklare, särskilt vid standardiserade tester. Dessa anvisningar gäller för en Texas Instruments-grafikkalkylator. Vi använder exempel ekvationen:
1
Ange ekvationen på skärmen [Y =].
2
Rita ekvationens trend med hjälp av kalkylatorn. När du har skrivit in din ekvation, tryck på [GRAPH]: du borde se en kontinuerlig båge som representerar ekvationen (och det kommer att vara en båge eftersom vi behandlar polynomier).
3
Hitta var bågen skär x-axeln. Eftersom polynom ekvationerna är traditionellt skrivna som yxa2 + bx + c = 0, det här är de två värdena på x som gör uttrycket lika med noll:(-1, 0), (2, 0) x = -1, x = 2
4
Ange de x-värden som erhållits tidigare i de två faktoriella uttrycken. Om vi kallar våra två värden för x `h` och `k` kommer uttrycket vi använder att vara:(x - h) (x - k) = 0 Således måste våra två faktorer vara:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
tips
- Om du har en TI-84-kalkylator finns det ett program som heter SOLVER, som kan lösa en kvadratisk ekvation. Han kommer att kunna lösa polynomier av varje grad.
- Koefficienten för en icke-existerande term är 0. Om så är fallet kan det vara användbart att skriva om ekvationen.
x2 + 6 = x2 + 0x + 6 - Om du fakturerar ett polynom med den kvadratiska formeln och resultatet innehåller en radikal kan du konvertera värdena för x till fraktioner för att verifiera resultatet.
- Om en term inte har en koefficient, är 1 underförstådd.
x2 = 1x2 - I slutändan kommer du att lära dig att försöka åka mentalt. Fram till den tiden blir det bättre att göra det skriftligt.
varningar
- Om du lär dig detta begrepp i skolan, var uppmärksam på vad din lärare lär dig. Använd inte bara din favoritmetod. I ett test kan din lärare begära att använda en viss metod eller inte tillåta användning av diagramräknare.
Saker du behöver
- En penna
- Ett ark
- En kvadratisk ekvation (eller andra gradens polynom)
- En grafisk räknare (tillval)
Dela på sociala nätverk:
Relaterade
Hur man beräknar graden av ett polynom- Hur man beräknar toppmötet i matematiska funktioner
- Hur man beräknar rötterna i en andra graders ekvation
- Hur man faktoriserar ett kubiskt polynom
Hur man gör en faktor med grupper
Hur man multiplicerar polynomier
Hur man löser högre polynomier
Hur man löser kvadratiska ekvationer
Hur man löser rationella ekvationer
Hur man löser en kubisk ekvation
Hur man löser en algebraisk uttryck
Hur man löser en rekursiv rapport
Hur man bryter ner algebraiska ekvationer i faktorer
Hur man bryter ner en Trinomio
Hur man förenklar rationella uttryck
Hur man förenklar en avdelning
Hur man hittar hur många faktorer det finns i ett nummer
Hur man hittar de sneda asymptoterna
Hur man hittar nollor av en polynomisk grad II-funktion
Så här hittar du standardformuläret för ett nummer
Hur man hittar X-avlyssningen
Hur man gör en faktor med grupper
Hur man multiplicerar polynomier
Hur man löser högre polynomier
Hur man löser kvadratiska ekvationer
Hur man löser rationella ekvationer
Hur man löser en kubisk ekvation
Hur man löser en algebraisk uttryck