Hur man skriver en exponentiell ekvation med en variationsfrekvens och ett initialvärde

Lär dig den grundläggande formeln. Formeln för en exponentiell ekvation är f (t) = P₀(1 + r)^{t / h}, där P₀ är initialvärdet, t är tidsvariabeln, r är förändringshastigheten och h är numret som är nödvändigt för att säkerställa att enheterna av t är jämförbara med de för förändringshastigheten.

Hitta h. Tänk på ekvationen. Varje år ökar pengarna med 3%, vilket innebär att pengarna ökar med 3% varje 12 månader. Eftersom du måste ge t i månader måste du dela t med 12, då h = 12. Din ekvation är f (t) = 1000 (1,03)^{t / 12}. Om enheten är densamma för hastigheten och för ökningarna av t, är h alltid 1.

Låt oss se ett exempel. Antag att 500 gram av ett kol isotopprov har en halveringstid på 50 år (halveringstiden är den tid det tar för att saken ska falla med 50%).

Lär dig den grundläggande formeln. Formeln för en exponentiell ekvation är f (t) = ae^kt, där a är det ursprungliga värdet, och är basen, k är den kontinuerliga tillväxttakten, och t är tidsvariabeln.

Byt ut startvärdet. Det enda tilldelade värdet du behöver är den ursprungliga tillväxttakten. Ersätt sedan a med detta värde och du får f (t) = 500e^kt

Hitta frekvensen av kontinuerlig tillväxt. Den kontinuerliga tillväxten anger hur snabbt grafen ändras vid en viss tidpunkt. Vi vet att i 50 år har provet fallit till 250 gram. Detta kan betraktas som en punkt på diagrammet som kan infogas. Då är t 50. Skriv in det för att få f (50) = 500e^50k. Vi vet också att f (50) = 250- ersätt sedan f (50) med 250 till vänster om lika och du får exponentiell ekvation 250 = 500e^50k. För att lösa ekvationen, dela båda sidorna med 500: 1/2 = e^50k. Beräkna den naturliga logaritmen för båda sidor och få: ln (1/2) = ln (e^50k). Använd logaritmerna för att ta exponenten ur det naturliga loggargumentet och multiplicera det med loggen. Resultatet blir ln (1/2) = 50k (ln (e)). Kom ihåg att ln är detsamma som logg_och. Enligt logaritmens egenskaper, om grunden och argumentet för en logaritm är lika, är värdet 1. Härifrån ln (e) = 1. Förenkla ekvationen till ln (1/2) = 50k och dividera med 50, hittar du att k = (ln (1/2)) / 50. Med hjälp av räknaren hittar du ungefärligt värde av k: -.01386. Observera att detta värde är negativt. Om den kontinuerliga tillväxten är negativ är det fråga om förfall. Om det å andra sidan är positivt kommer det att bli en exponentiell tillväxt.