gushelom.ru

Hur man får den kvadratiska formeln

En av de viktigaste formlerna för en algebra-student är den kvadratiska, det vill säga x = (- b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Med denna formel, för att lösa de kvadratiska ekvationerna (ekvationer i formuläret ax2 + bx + c = 0) ersätter bara värdena för a, b och c. Även om det ofta är tillräckligt vet formeln för de flesta människor, förstå hur det skapades är en annan sak. I själva verket härledas formeln med en användbar teknik som kallas "slutförandet av torget" som också har andra matematiska tillämpningar.

Metod 1

Hämta formeln
Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 1
1
Börja med en kvadratisk ekvation. Alla kvadratiska ekvationer har formen yXA2 + bx + c = 0. För att börja härleda den kvadratiska formeln, skriv helt enkelt den här allmänna ekvationen på ett papper och lämna gott om utrymme under den. Byt inte ut något tal a a, b, eller c - Du kommer att arbeta med den allmänna formen av ekvationen.
  • Ordet "kvadratisk" hänvisar till det faktum att termen x är kvadrerad. Oavsett vilka koefficienter som används för a, b, och c, om du kan skriva en ekvation i den normala binomialformen är det en kvadratisk ekvation. Det enda undantaget från denna regel är "till" = 0 - i det här fallet, eftersom termen x inte längre är närvarande2, ekvationen är inte längre kvadratisk.
  • Bildnamn Avleda kvadratisk formel Steg 2
    2
    Dela upp båda sidor för "till". För att erhålla den kvadratiska formeln är målet att isolera "x" på ena sidan av lika tecknet. För att göra detta ska vi använda teknikerna för "annullering" basen av algebra, för att gradvis flytta resten av variablerna från den andra sidan av lika tecknet. Vi börjar genom att helt enkelt dividera den vänstra sidan av ekvationen för vår variabel "till". Skriv detta under första raden.
  • När du delar upp båda sidor för "till", glöm inte divideringsfördelningsegenskapen, vilket innebär att dividera hela vänster sida av ekvationen för a är hur man delar upp villkoren individuellt.
  • Detta ger oss x2 + (b / a) x + c / a = 0. Observera att a som multiplicerat termen x2 har raderats och den högra sidan av ekvationen är fortfarande noll (noll dividerad med ett icke-nolltal är noll).
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 3
    3
    subtrahera c / a på båda sidor. Som ett nästa steg, radera termen non-x (c / a) från vänster sida av ekvationen. Att göra det är enkelt - bara subtrahera det från båda sidor.
  • Därmed återstår det x2 + (b / a) x = -c / a. Vi har fortfarande de två termen i x till vänster, men den högra sidan av ekvationen börjar ta den önskade formen.
  • Bildnamn Avleda kvadratisk formel Steg 4
    4
    Summa b2/ 4a2 på båda sidor. Här blir det mer komplicerat. Vi har två olika termer i x - en kvadrat och en enkel - på vänster sida av ekvationen. Vid första anblicken kan det tyckas omöjligt att fortsätta att förenkla eftersom algebrareglerna hindrar oss från att summera variabla termer med olika exponenter. en "genväg" men ring "slutförandet av torget" (som vi diskuterar inom kort) låter oss lösa problemet.
  • För att slutföra torget summa b2/ 4a2 på båda sidor. Kom ihåg att de grundläggande reglerna för algebra låter oss lägga till nästan allt från en sida av ekvationen så länge vi lägger till samma element i det andra, så det är en helt giltig operation. Din ekvation borde nu se ut så här: x2+(B / a) x + b2/ 4a2 = -c / a + b2/ 4a2.
  • För en mer detaljerad diskussion om hur slutförandet av torget fungerar, läs följande avsnitt.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 5
    5
    Faktorerar vänster sida av ekvationen. Som ett nästa steg, för att hantera komplexiteten som vi just lagt till, låt oss fokusera endast på vänster sida av ekvationen för en åktur. Vänster sida ska se så här ut: x2+(B / a) x + b2/ 4a2. Om vi ​​tänker på "(B / a)" och "b2/ 4a2" som enkla koefficienter "d" och "och"vår ekvation har i själva verket formen x2 + dx + e, och kan därför faktureras i (x + f)2, där f är 1/2 av d och kvadratroten av e.
  • För våra syften betyder det att vi kan faktor ekvationens vänstra sida, x2+(B / a) x + b2/ 4a2, i (x + (b / 2a))2.
  • Vi vet att denna passage är korrekt eftersom (x + (b / 2a))2 = x2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a)2 = x2+(B / a) x + b2/ 4a2, den ursprungliga ekvationen.
  • Factorisering är en värdefull algebrateknik som kan vara väldigt komplex. För en fördjupad förklaring av vad faktoriseringen är och hur man tillämpar denna teknik kan du söka på internet eller på wikiHow.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln steg 6
    6
    Använd den gemensamma nämnaren 4a2 för ekvationens högra sida. Låt oss ta en kort paus från den komplicerade vänstra sidan av ekvationen och hitta en gemensam nämnare för villkoren till höger. För att förenkla fraktionsvillkoren till höger måste vi hitta denna nämnare.
  • Detta är en ganska enkel operation - multiplicera bara -c / a med 4a / 4a för att få -4ac / 4a2. Nu bör villkoren till höger vara -4ac / 4a2 + b2/ 4a2.
  • Observera att dessa termer har samma nämnare 4a2, så vi kan lägga till dem för att få (b2 - 4ac) / 4a2.
  • Kom ihåg att vi inte behöver repetera denna multiplikation på andra sidan ekvationen. Eftersom multiplicering med 4a / 4a är som att multiplicera med 1 (vilket icke-nolltal dividerat med sig är lika med 1) förändrar vi inte ekvationsvärdet, så det är inte nödvändigt att kompensera från vänster sida.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln steg 7
    7
    Beräkna kvadratroten på varje sida. Det värsta är över! Din ekvation borde nu se ut så här: (x + b / 2a)2) = (b2 - 4ac) / 4a2). Eftersom vi försöker isolera x på ena sidan av lika tecknet är vår nästa uppgift att beräkna kvadratroten på båda sidor.
  • Därmed återstår det x + b / 2a = ± √ (b2 - 4ac) / 2a. Glöm inte ± tecknet - även negativa tal kan kvadreras.
  • Bildnamn Avleda kvadratisk formel Steg 8
    8
    subtrahera b / 2a från båda sidor till slut. Vid den här tiden är x nästan ensam! Nu är allt som återstår att subtrahera termen b / 2a från båda sidor för att isolera det helt. När du är klar ska du få det x = (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Verkar det vara bekant Grattis! Du har den kvadratiska formeln!
  • Låt oss analysera det här sista steget ytterligare. Att subtrahera b / 2a från båda sidor ger oss x = ± √ (b2 - 4ac) / 2a - b / 2a. Eftersom både b / 2a och √ (b2 - 4ac) / 2a har den gemensamma nämnaren 2a, vi kan lägga till dem och erhålla ± √ (b2 - 4ac) - b / 2a eller, med enklare läsförhållanden, (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a.

    • Metod 2

    Lär dig tekniken hos "Slutförande av torget"
    Bildnamn Avleda kvadratisk formel Steg 9
    1
    Börja med ekvationen (x + 3)2 = 1 Om du inte visste hur du kan härleda den kvadratiska formeln innan du börjar läsa, är du förmodligen fortfarande lite förvirrad av stegen i "slutförandet av torget" i den tidigare demonstrationen. Oroa dig inte - i det här avsnittet kommer vi att analysera operationen mer detaljerat. Låt oss börja med en helt förknippad polynomekvation: (x + 3)2 = 1. I följande steg använder vi det här enkla exemplet för att förstå varför vi ska använda "slutförandet av torget" för att erhålla den kvadratiska formeln.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 10
    2
    Lös för x. Lös (x + 3)2 = 1 för x är ganska enkelt - beräkna kvadratroten på båda sidor, subtrahera sedan tre från båda för att isolera x. Läs senare för en steg för steg förklaring:
  • (x + 3)2 = 1
    (x + 3) = √1
    x + 3 = ± 1
    x = ± 1 - 3
    x = -2, -4
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 11
    3
    Expand ekvationen. Vi har löst för x, men vi är inte färdiga ännu. nu, "vi öppnar" ekvationen (x + 3)2 = 1 skriver i lång form, så här: (x + 3) (x + 3) = 1. Låt oss expandera denna ekvation igen, multiplicera villkoren i parentes. Från den multiplicativa egenskapen, vi vet att vi måste multiplicera i denna ordning: de första termerna, de externa termerna, de interna termerna och slutligen de sista termerna.
  • Multiplikation har denna utveckling:
    (x + 3) (x + 3)
    (xxx) + (xx3) + (3xx) + (3x3)
    x2 + 3x + 3x + 9
    x2 + 6x + 9
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 12
    4
    Förvandla ekvationen till en kvadratisk form. Nu ser vår ekvation ut så här: x2 + 6x + 9 = 1. Observera att det liknar en kvadratisk ekvation. För att erhålla den fullständiga kvadratiska formen behöver vi bara subtrahera en från båda sidor. Så får vi x2 + 6x + 8 = 0.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 13
    5
    Låt oss sammanfatta. Låt oss granska vad vi redan vet:
  • Ekvationen (x + 3)2 = 1 har två lösningar för x: -2 och -4.
  • (x + 3)2 = 1 är lika med x2 + 6x + 9 = 1, vilket är lika med x2 + 6x + 8 = 0 (en kvadratisk ekvation).
    Således är den kvadratiska ekvationen x2 + 6x + 8 = 0 ha -2 och -4 som lösningar för x. Om vi ​​verifierar genom att ersätta dessa lösningar för x får vi alltid rätt resultat (0), så vi vet att det här är de rätta lösningarna.
  • Bildnamn Avleda den kvadratiska formeln Steg 14
    6
    Lär känna de allmänna teknikerna hos "slutförandet av torget". Som vi såg tidigare är det lätt att lösa kvadratiska ekvationer genom att föra dem i formen (x + a)2 = b. För att kunna bära en kvadratisk ekvation i denna lämpliga form kan vi dock behöva subtrahera eller lägga till ett tal på båda sidor av ekvationen. I mer allmänna fall, för de kvadratiska ekvationerna i formen x2 + bx + c = 0, c måste vara lika med (b / 2)2 varför ekvationen kan inräknas i (x + (b / 2))2. Om inte, lägg bara till och subtrahera siffror på båda sidor för att få detta resultat. Denna teknik kallas "slutförandet av torget", och det är precis vad vi gjorde för att få den kvadratiska formeln.
  • Här är andra exempel på kvadratiska ekvationsfaktoriseringar - notera att i var och en termen "c" det är detsamma som termen "b" delad två, kvadratisk.
    x2 + 10x + 25 = 0 = (x + 5)2
    x2 - 18x + 81 = 0 = (x + -9)2
    x2 + 7x + 12,25 = 0 = (x + 3,5)2
  • Här är ett exempel på en kvadratisk ekvation där termen "c" det är inte lika med hälften av terminen "b" kvadrat. I det här fallet bör vi lägga till varje sida för att få önskad jämlikhet - med andra ord måste vi "slutför torget".
    x2 + 12x + 29 = 0
    x2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
    x2 + 12x + 36 = 7
    (x + 6)2 = 7

    • Saker du behöver

    • Papper och penna
    Visa mer ... (3)
    Dela på sociala nätverk:

    Relaterade
    Hur man beräknar omkretsen av en rektangelHur man beräknar omkretsen av en rektangel
    Hur man beräknar toppmötet i matematiska funktionerHur man beräknar toppmötet i matematiska funktioner
    Hur man beräknar området för en halvcirkelHur man beräknar området för en halvcirkel
    Så här beräknar du standardfeletSå här beräknar du standardfelet
    Hur man beräknar en kvadrats diagonalHur man beräknar en kvadrats diagonal
    Hur man beräknar längden på en rak linje med formeln för att beräkna avståndet mellan två punkterHur man beräknar längden på en rak linje med formeln för att beräkna avståndet mellan två punkter
    Hur man beräknar rötterna i en andra graders ekvationHur man beräknar rötterna i en andra graders ekvation
    Hur man får ekvivalenta fraktionerHur man får ekvivalenta fraktioner
    Hur representerar du en kvadratisk ekvation grafisktHur representerar du en kvadratisk ekvation grafiskt
    Hur man löser högre polynomierHur man löser högre polynomier
    » » Hur man får den kvadratiska formeln

    © 2011—2021 gushelom.ru