Hur man beräknar derivat i matematisk analys

Derivat kan användas för att få de mest intressanta funktionerna i ett diagram, såsom maxima, minima, toppar, dalar och sluttningar. Du kan till och med rita komplexa ekvationer utan en grafisk räknare! Tyvärr är det ofta tråkigt att få derivatet, men den här artikeln hjälper dig med några tips och tricks.

steg

Försök förstå notationen av derivatet. Följande två noteringar är de vanligaste, även om det finns otaliga andra:

Leibniz notation: denna notation är vanligare när ekvationen involverar y och x.
dy / dx betyder bokstavligen "derivatet av y med avseende på x". Det kan vara användbart att tänka på derivatet som Δy / Δx för värden på x och y som är oändligt olika från varandra. Denna förklaring är lämplig för definitionen av gränsen för ett derivat:
lim _h->0 (f (x + h) - f (x)) / h.
När du använder den här notationen för det andra derivatet måste du skriva:
dy² / dx².
Lagrange notation: derivatet av en funktion f skrivs också som f `(x). Denna notation uttalas "f första av x". Denna notering är kortare än den för Leibniz och är användbar när man letar efter derivaten av en funktion. För att bilda derivaten av högre ordning, lägg bara till ett annat tecken " ` " och så blir det andra derivatet f " (X).

Försök förstå vad derivatet är och varför det används. Först och främst, för att hitta lutningen av ett linjärt diagram, tar du två punkter på linjen och deras koordinater som måste anges i ekvationen (y₂ - y₁) / (x₂ -x₁). Detta kan dock endast användas med linjära diagram. För kvadratiska och högre grad ekvationer är linjen böjd, så det är inte korrekt att ta "skillnad" av de två punkterna. I syfte att hitta lutningen för tangenten för ett linjediagram kurva, de tar två punkter och förbinder dem med standardekvationen för att hitta lutningen av en kurva diagram: [f (x + dx) - f (x)] / dx. DX står för "delta x", vilket är skillnaden mellan de två x koordinaterna för de två punkterna i diagrammet. Observera att denna ekvation är densamma som (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), men det är bara i en annan form. Eftersom det redan är känt att resultatet blir oriktigt tillämpas en indirekt strategi. För att hitta tangentens lutning vid den generella punkten för koordinaterna (x, f (x)) måste dx närma sig 0 så att de två punkterna som tagits "grundade" på ett ställe. Det är dock inte möjligt att dela med 0, så efter byte värdena för koordinaterna för de två punkterna, kommer att behöva använda faktorisering och andra metoder för att förenkla ekvationen dx vid nämnaren. När du är färdig ställer du rätt till 0 och löser. Detta är höjden av tangenten vid koordinatpunkten (x, f (x)). Derivaten av en ekvation är den allmänna ekvationen för att hitta lutningen eller vinkelkoefficienten för vilken linje som helst som är tangentiell till en graf. Det här låter mycket komplicerat, men det finns några exempel nedan som hjälper till att klargöra hur man får derivatet.

Metod 1

Explicit avledning

Använd uttrycklig avledning när ekvationen redan har y på ena sidan av jämlikheten.

Ange ekvationen med formeln [f (x + dx) - f (x)] / dx. Om exempelvis ekvationen är y = x², derivatet blir [(x + dx) ² - x²] / dx.

Multiplicera och samla sedan in rätt för att bilda ekvationen [dx (2 x + dx)] / dx. Nu kan du förenkla rätt mellan täljare och nämnare. Resultatet är 2 x + höger och, när höger tenderar att vara 0, är derivatet 2x. Detta innebär att lutningen av varje tangent i grafen y = x ² det är 2x. Byt bara värdet på x med abscissen i den punkt där du vill hitta lutningen.

Lär dig mönster för att härleda liknande ekvationer. Här är några.

Derivatet av någon kraft är nämnaren av kraften multiplicerad med x höjd till effektvärdet minus 1. Till exempel kan derivatet av x⁵ det är 5x⁴ och derivatet av x^3,5 det är 3,5x^2,5. Om det redan finns ett tal framför x, multiplicera du bara med exponenten av effekten. Till exempel derivatet av 3x⁴ det är 12x³.

Derivatet av en konstant är noll. Sålunda är derivatet av 8 0.

Derivatet av en summa är summan av dess individuella derivat. Till exempel, derivatet av x³ + 3x² det är 3x² + 6x.

Derivatet av en produkt är derivatet av den första faktorn för det andra plus derivatet av det andra för det första. Till exempel, derivatet av x³(2 x + 1) är x³(2) + (2 x + 1) 3x², lika med 8x³ + 3x².

Och slutligen är derivatet av en kvotient (dvs f / g) [g (derivat av f) - f (derivat av g)] / g². Till exempel kan derivatet av (x² + 2x - 21) / (x - 3) är (x² - 6x + 15) / (x - 3)².

Metod 2

Implicit derivat

Den använder implicit derivat när ekvationen inte enkelt kan skrivas med y på en enda sida av jämlikhet. Även om du kunde skriva med y på ena sidan, skulle beräkningen av dy / dx vara tråkig. Nedan är ett exempel på hur vi kan lösa denna typ av ekvation.

I detta exempel, x²y + 2y³ = 3x + 2y, ersätt y med f (x), så du kommer ihåg att y faktiskt är en funktion. Så ekvationen blir x [f (x)]² + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x).

För att hitta derivatet av denna ekvation skiljer det (ett stort ord för att hitta derivatet) båda sidor av ekvationen med avseende på x. Så ekvationen blir x²f `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f `(x) = 3 + 2f` (x).

Ersätt f (x) igen med y. Var försiktig så att du inte gör detsamma med f `(x), vilket skiljer sig från f (x).

Lös upp för f `(x). Svaret för detta exempel är (3 - 2xy) / (x ² + 6y ² - 2).

Metod 3

Derivat av övre ordningen

Att göra ett derivat av en högre ordning av en funktion innebär endast att derivatet av derivatet (för order 2) görs. Om du till exempel blir beredd att beräkna derivatordningen för tredje ordningen, gör du bara derivatet av derivatet av derivatet. För vissa ekvationer gör de högsta ordningsderivaten 0.

Metod 4

Kedjestyrelsen

När y är en differentierbar funktion av z är z en differentierbar funktion av x, y är en sammansatt funktion av x och derivatet av y med avseende på x (dy / dx) är (dy / du) * (du / dx). Kedjestyrelsen kan också gälla för förbrukade kraftekvationer (effekt), så här: (2x⁴ - x)³. För att hitta derivatet, tänk bara på produktregeln. Multiplicera ekvationen med kraften och minska kraften i 1. Därefter multiplicera ekvationen med derivatet av den inre delen av effekten (i detta fall 2x⁴ - x). Svaret på detta problem är 3 (2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

tips

Derivatet av yz (där y och z är båda funktionerna) är inte bara 1, eftersom y och z är separata funktioner. Använd produktregeln: yz = y (1) + z (1) = y + z.
Öva produktens regel, kvotens regel, kedjans regel och framförallt den implicita härledningen, eftersom dessa är överlägset svåraste i differentialanalysen.
När du ser ett stort problem att lösa, oroa dig inte. Försök bara bryta den till mycket små bitar genom att tillämpa produktstandarder, kvot etc. Då härrör de enskilda delarna.
Lär känna din räknare väl: prova olika funktioner på din räknare för att lära dig hur du använder dem. Det är särskilt användbart att veta hur man använder tangent- och derivatfunktionerna i din kalkylator, om de finns.
Minns de grundläggande derivaten av trigonometri och lär dig att manipulera dem.

varningar

Glöm inte minustecknet framför f för derivat av g när du använder kvotregeln: det är ett vanligt misstag och glömmer att det kommer att ge dig fel svar!

Dela på sociala nätverk:

Relaterade