Hur man bryter ner en Trinomio

En trinomial är ett algebraiskt uttryck bestående av tre termer. Mest troligt kommer du börja lära dig att bryta upp de kvadratiska trinomen, dvs skrivna i axformen² + bx + c. Det finns flera knep att lära sig som gäller olika typer av kvadratiska trinomialer, men du blir bara bättre och snabbare med träning. Polynomier i högre grad, med termer som x³ eller x⁴, De kan inte alltid lösas med samma metoder, men det är ofta möjligt att använda enkla sönderdelningar eller substitutioner för att omvandla dem till problem som kan lösas som någon kvadratisk formel.

Metod 1

Bryt ner x² + bx + c

Lär dig FOIL-tekniken. Du kanske redan har lärt sig FOIL-metoden, dvs "Första, Outside, Inside, Last" eller "Först ute, inuti, sist", för att multiplicera uttryck som (x + 2) (x + 4). Det är användbart att veta hur det fungerar innan du kommer till sönderdelning:

Multiplicera villkoren först: (x+2) (x+4) = x² + __
Multiplicera villkoren utanför: (x+2) (x +4) = x²+4x + __
Multiplicera villkoren Inside: (x +2) (x+4) = x²+4x +2x + __
Multiplicera villkoren senast: (x +2) (X +4) = x²+4x + 2x +8
Förenkla: x²+4x 2x ++8 = x²+6x+8

Försök förstå faktoriseringen. När två binomialer multipliceras med FOIL-metoden kommer vi fram till en trinomial (ett uttryck med tre termer) i formuläret tillx² + bx + c, där a, b och c är några siffror. Om du börjar från en ekvation i denna form kan du bryta ner den i de två binomialerna.

Om ekvationen inte är skriven i den här ordningen flyttar du villkoren. Skriv till exempel om 3x - 10 + x² hur x² + 3x - 10.

Eftersom den högsta exponenten är 2 (x²), denna typ av uttryck är "kvadratisk".

Skriv ett mellanslag för svaret i FOIL-formuläret. För nu, skriv bara (__ __) (__ __) i det utrymme där du kan skriva svaret. Vi kommer att slutföra det senare.

Skriv inte + eller - mellan tomma termer, eftersom vi inte vet vad de ska vara.

Fyll i de första termerna (Första). För enkla övningar, där den första termen av din trinomial endast är x², Villkoren i den första (första) positionen kommer alltid att vara x och x. Dessa är faktorerna i termen x², eftersom x för x = x².

Vårt exempel x² + 3 x - 10 börjar med x², så vi kan skriva:

(x __) (x __)

Vi kommer att göra mer komplicerade övningar i nästa avsnitt, inklusive trinomas som börjar med en term som 6x² eller -x². För nu följer exempelproblemet.

Använd sönderdelningen för att gissa de sista (sista) termerna. Om du går tillbaka och läser igenom FOIL-metoden, kommer du att se att genom att multiplicera de sista termerna med varandra (sist) kommer du att få den sista termen av polynom (den utan x). Så, för att göra sönderdelning måste vi hitta två tal som multiplicerat, ger den sista termen.

I vårt exempel, x² + 3 x - 10, sista termen är -10.

Vad är -10-delarna? Vilka två tal multipliceras tillsammans ger -10?

Det finns några möjligheter: -1 för 10, -10 för 1, -2 för 5 eller -5 för 2. Skriv dessa par någonstans för att komma ihåg dem.

Ändra inte vårt svar igen. För närvarande är vi på denna punkt: (x __) (x __).

Prova vilka möjligheter som är bra med externa och interna multiplikationer (yttre och inre) av termer. Vi har minskat de sista termerna (Senaste) till vissa möjligheter. Gå för försök att försöka alla möjligheter, multiplicera de externa och interna termerna (Outside och Inside) och jämföra resultatet med vår trinomial. Till exempel:

Vårt ursprungliga problem har en term i "x" vilket är 3x, vilket är vad vi vill hitta med detta test.

Försök med -1 och 10: (x - 1) (x + 10). Extern + intern = Utvändig + Invändig = 10x - x = 9x. De är inte bra.

Försök med 1 och -10: (x + 1) (x - 10). -10x + x = -9x. Det är inte sant. Faktum är att när du försökt med -1 och 10 vet du att 1 och -10 kommer att ge motsatt svar till föregående: -9x istället för 9x.

Försök med -2 och 5: (x - 2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Detta motsvarar det ursprungliga polynomet, så det här är det rätta svaret: (x - 2) (x + 5).

I enkla fall som detta, när det inte finns något nummer framför x, kan du använda en genväg: lägg bara till de två faktorerna tillsammans och sätt en "x" (-2 + 5 → 3x). Det här fungerar inte med de mest komplicerade problemen, så det är bra att komma ihåg det "lång väg" beskrivet ovan.

Metod 2

Demontera Trinomi plus-komplex

Använd enkel sönderdelning för att underlätta de mest komplicerade problemen. Antag att vi vill förenkla 3x² + 9x - 30. Leta efter en divisor gemensam för var och en av de tre termerna (den maximala gemensamma divisoren, MCD). I det här fallet är det 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Därför 3x² + 9 x - 30 = (3) (x² + 3 x -10). Vi kan sönderdela trinometern igen med hjälp av proceduren i föregående avsnitt. Vårt sista svar kommer att vara (3) (x - 2) (x + 5).

Leta efter mer komplicerade nedbrytningar. Ibland kan det vara variabler eller det kan vara nödvändigt att bryta ner ett par gånger för att hitta det enklaste möjliga uttrycket. Här är några exempel:

2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)

x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)

-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)

Glöm inte att bryta ner det vidare med hjälp av proceduren i Metod 1. Kontrollera resultatet och hitta övningar som liknar exemplen längst ner på den här sidan.

Lös problem med ett tal framför x². Vissa trinom kan inte förenklas förrän du får faktorer. Lär dig att lösa problem som 3x² + 10x + 8, sedan praktiseras ensam med provproblemen längst ner på sidan:

Så sätt lösningen: (__ __) (__ __)

Våra första termer (Första) har var och en en x och multipliceras för att ge 3x². Det finns bara ett möjligt alternativ här: (3x __) (x __).

Lista divisorerna på 8. De möjliga valen är 8 x 1 eller 2 x 4.

Prova dem med hjälp av externa och interna termer (Outside och Inside). Observera att ordningen av faktorer är viktig, eftersom den externa termen multipliceras med 3x istället för x. Prova alla möjliga kombinationer tills du får en extern + intern (Outside + Inside) som ger 10x (från det ursprungliga problemet):

(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x ingen

(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x ingen

(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x ingen

(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x Ja Det är rätt sönderdelning.

Använd ersättning för högsta klassen trinom. Matboken kan ta dig överraskning med ett högt exponentpolynom, till exempel x⁴, även efter att förenkla problemet. Försök att ersätta en ny variabel för att hitta dig själv med en övning som du kan lösa. Till exempel:

x⁵+13x³+36x

= (X) (x⁴+13x²+36)

Vi använder en ny variabel. Antag att y = x² och vi ersätter:

(X) (y²+13y + 36)

= (X) (y + 9) (y + 4). Låt oss nu gå tillbaka till den ursprungliga variabeln.

= (X) (x²+9) (x²+4)

=(X) (x ± 3) (x ± 2)

Metod 3

Fördelning av särskilda fall

Kontrollera med primtal. Kontrollera om konstanten i första eller tredje termen av trinomialet är ett huvudtal. Ett primtal är endast delbart i sig och 1, så det finns bara ett par möjliga faktorer.

Till exempel i trinomio x² + 6x + 5, 5 det är ett primtal, så binomialen måste vara i formen (__ 5) (__ 1).
I 3x-problemet² + 10x + 8, 3 det är ett primtal, så binomialen måste vara i formen (3x __) (x __).
För 3x problemet² + 4x + 1, 3 och 1 de är primtal, så den enda möjliga lösningen är (3x +1) (x + 1). (Du ska fortfarande multiplicera för att kontrollera det arbete som utförts, eftersom vissa uttryck inte kan vara faktiska - till exempel 3x² + 100x + 1 kan inte delas upp i faktorer.)

Kontrollera om trinometern är en perfekt kvadrat. En perfekt kvadratisk trinomial kan sönderföras i två identiska binomialer och faktorn skrivs vanligen (x + 1)² istället för (x + 1) (x + 1). Här är några rutor som ofta uppstår i problem:

x²+2x + 1 = (x + 1)² och x²-2x + 1 = (x-1)²

x²+4x + 4 = (x + 2)² och x²-4x + 4 = (x-2)²

x²+6x + 9 = (x + 3)² och x²-6x + 9 = (x-3)²

En perfekt kvadratisk trinomial i formen tillx² + bx + c han har alltid villkoren till och c vilka är perfekta positiva kvadrater (till exempel 1, 4, 9, 16 eller 25) och en term b (positiv eller negativ) som är lika med 2 (√a * √c).

Kontrollera om det inte finns någon lösning. Inte alla trinomen kan beaktas. Om du sitter fast på en trinomial (ax² + bx + c), använd den kvadratiska formeln för att hitta svaret. Om de enda svaren är kvadratroten av ett negativt tal, finns det ingen riktig lösning, så det finns inga faktorer.

För icke-kvadratiska trinom, använd Eisenstein-kriteriet, som beskrivs i avsnittet Rådgivning.

Exempel Problem med svar

Hitta svar på bedrägliga problem om nedbrytningar. Vi har redan förenklat dem i enklare problem, så försök lösa dem med hjälp av stegen som ses i metod 1, och kolla sedan resultatet här:
(2y) (x² + 7x + 12) = (X + 3) (x + 4)
(x²) (X² + 11x - 26) = (X + 13) (x-2)
(-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)²
Prova med svårare sönderdelningsproblem. Dessa problem har en gemensam faktor i varje term som först måste samlas in. Markera utrymmet efter samma tecken för att se svaret så att du kan kontrollera arbetet:
3 x ³ + 3 x ² -6 x = (3x) (x + 2) (x-1) ← markerar utrymmet för att se svaret
-5x³y²+30x²y²-25Y²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Öva med svåra problem. Dessa problem kan inte brytas ner i enklare ekvationer, så ett svar måste behandlas i form av (x + _) (_ x + __) för försök och fel:
2x²+3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← markera för att se svaret
9 x ² + 6 x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Tips: det kan vara nödvändigt att prova mer än ett par faktorer för 9 x.)

tips

Om du inte kan räkna ut hur man bryter upp en kvadratisk trinomial (ax² + bx + c), kan du alltid använda den kvadratiska formeln för att hitta x.
Även om det inte är obligatoriskt kan du använda Eisenstein-kriterierna för att snabbt bestämma om ett polynom är irreducerbart och kan inte brytas ner. Dessa kriterier fungerar för varje polynom, men de är särskilt bra för trinomen. Om det finns ett prime p-tal som är en faktor av de två sista termerna och uppfyller följande villkor, är polynomet irreducerbart:
Den konstanta termen (för en trinomial i formuläret ax² + bx + c, detta är c) är en multipel av p, men inte p².
Den ursprungliga termen (vilken är a) är inte en multipel av s.
Till exempel tillåter det att snabbt bestämma att 14x ^ 9 + 45x ^ 4 + 51 är irreducerbart eftersom 45 och 51 men inte 14 är delbara med primärnumret 3 och 51 inte delbart med 9.

varningar

Även om det är sant för kvadratisk, är de nedbrytbara trinomena inte nödvändigtvis en produkt av två binomialer. Ett motsatta exempel är x ^ 4 + 105x + 46 = (x ^ 2 + 5x + 2) (x ^ 2 - 5x + 23).

Dela på sociala nätverk:

Relaterade