Hur man delar upp polynomier

Polynomerna kan delas som de numeriska konstanterna, antingen genom sönderdelning eller genom lång division. Metoden du använder beror på hur komplex utdelningen och divisorn av polynomet är.

Del 1

Välj rätt tillvägagångssätt

Observera delarens komplexitet. Divisorns komplexitet (det polynom som du delar upp) i förhållande till utdelningen (det polynom som du delar upp) bestämmer det bästa sättet att använda.

Om divisorn är en monom (polynom med en term), eller en variabel med en koefficient eller en konstant (ett nummer inte följs av en variabel), kan du förmodligen bryta ner skilje och ta bort en av de faktorer som resulterar utdelning. Se del 2 för instruktioner och exempel.
Om divisorn är en binomial (polynom med 2 termer) kan du eventuellt bryta ner utdelningen och radera en av de resulterande faktorerna och delarna.
Om divisorn är en trio (polynom med tre terminer), kan du kanske att bryta ner både utdelningen divisorn bort den gemensamma faktorn, och sedan antingen ytterligare sönderdela utdelning eller använda långa division.
Om divisorn är ett polynom med mer än 3 faktorer, kommer du förmodligen att behöva använda lång division. Se del 3 för instruktioner och exempel.

Observera utbytes komplexitet. Om ekvationens polynomialdelare inte tyder på att du försöker bryta utdelningen noterar du utdelningen själv.

Om utdelningen har 3 eller mindre villkor kan du förmodligen bryta ner den och ta bort delaren.

Om utdelningen har mer än 3 villkor, kommer du förmodligen att behöva dela upp divisören för den med hjälp av den långa divisionen.

Del 2

Bryt ut utdelningen

Kontrollera om alla villkoren i utdelningen innehåller en faktor som är gemensam med dividers. Om så är fallet kan du bryta ner det och förmodligen radera delaren.

Om du delar upp 3x - 9 binomial med 3, kan du bryta 3 från båda binomialmedlemmarna och göra det 3 (x - 3). Du kan senare ta bort divisor 3, få en kvotient på x - 3.
Om du delar upp 24x-paret med 6x³ - 18x², du kan bryta 6x från båda villkoren i binomialen, vilket gör det 6x (4x² - 3). Du kan sedan avbryta divideraren och lämna en 4x kvotient² - 3.

Titta i utdelningen för särskilda sekvenser som indikerar möjligheten att bryta ner den. Vissa polynomier visar termer som berättar att de kan brytas ner. Om en av dessa faktorer matchar divisorn, kan du radera den och lämna kvarvarande faktor som kvotienten. Här är några sekvenser att leta efter:

Skillnad mellan perfekta rutor. Detta är binomialen av form `` a ²x² - b ``, där värdena för `` a ²`` Och `` b ²`` Är perfekta rutor. Detta binomial bryts ner i två binomialer (ax + b) (ax-b), där a och b är kvadratrotsarna för koefficienten och konstanten i föregående binomial.

Perfekt kvadrat Trinomio. Denna trinomial har formen a²x² + 2abx + b ². Den bryts ner i (ax + b) (ax + b), som också kan skrivas som (ax + b)². Om tecknet framför den andra termen är en minus kommer binomiala sönderdelningar att uttryckas enligt följande: (ax-b) (ax-b).

Summan eller skillnaden mellan kuber. Denna binomial har formen a³x³ + b³ eller a³x³ - b³, där värdena för `` a ³`` Och `` b ³"De är perfekta kuber. Denna kombination är uppdelad i en binomial och en trinomial. En summa kubbar bryts ner i (ax + b) (a²x² - abx + b²). En skillnad på kuber bryts ner i (ax-b) (a²x² + abx + b²).

Använd försök och fel för att bryta ner utdelningen. Om du inte ser en särskild sekvens i utdelningen som föreslår dig hur du bryter ner det, kan du prova flera möjliga kombinationer för sönderdelning. Du kan göra detta genom att titta först på konstanten och hitta olika nedbrytningar för det, då vid den centrala termens koefficient.

Till exempel, om utdelningen var x² - 3x - 10, skulle du titta på faktorerna 10 och använda 3 för att hjälpa dig att bestämma vilket par faktorer som är korrekta.

Siffran 10 kan delas upp i faktorer av ett och 10 eller 2 och 5. Eftersom tecknet framför den 10 det är negativt, kommer en av de binomial faktorer har en negativt tal framför sin konstant.

Nummer 3 är skillnaden mellan 2 och 5, så dessa måste vara konstanterna för de sönderdelade binomialerna. Eftersom tecknet framför 3 är negativt måste binomialen med 5 vara den negativa. De binomiella sönderdelningarna kommer därför att vara (x - 5) (x + 2). Om delaren är en av dessa två nedbrytningar kan den elimineras, och den andra är kvoten.

Del 3

Använd den långa polynomavdelningen

Förbered uppdelningen. Skriv den långa polynomavdelningen på samma sätt som du skulle dela siffror. Utdelningen går under den långa delningen, medan dividerna går till vänster.

Om du delar x² + 11 x + 10 för x +1, x² + 11 x + 10 går under linjen, medan x + 1 går till vänster.

Dela divisorens första term i utdelningens första term. Resultatet av denna uppdelning går till toppen av delningen.

För vårt exempel delas x², Utdelningens första term, för x, divisorens första term producerar x. Du skriver en x längst upp på delningen ovanför x².

Multiplicera x i kvotientpositionen för divisorn. Skriv multiplikationsresultatet längst till vänster i utdelningen.

Fortsätter med vårt exempel, multiplicera x + 1 med x resultat i x² + x. Du skriver detta under de två första delarna av utdelningen.

Avdrag från utdelningen. För att göra detta, först omvänd tecknen på multiplikationsprodukten. Efter subtraheringen bär den under de återstående villkoren i utdelningen.

Inverteringen av tecknen på x² + x skapa - x² - x. Subtrahera detta från de två första delarna av utdelningen får vi 10x. Efter att ha sänkt de återstående villkoren i utdelningen har vi 10x + 10 som en preliminär kvot för att fortsätta divisionsprocessen.

Upprepa de tre föregående stegen på den tillfälliga kvoten. Dela den första termen i nämnaren på nytt i den provisoriska kvoten, skriver resultatet på toppen av skiljelinjen efter den första termen av kvoten, multiplicera resultatet med divisorn, och beräknar sedan vad man ska ta bort från den tillfälliga kvoten.

Eftersom x är 10 gånger i 10x skriver du "+ 10" efter x i kvotientens position på divideringsfältet.

Multiplicera x +1 med 10 ger 10x + 10. Skriv det här under den temporära kvoten och vänd subtraktionsteken, så att den blir -10x - 10.

När du subtraherar har du en återstod av 0. Nu delas x² + 11 x + 10 för x +1 får du en kvot på x + 10. (Du kunde ha uppnått samma resultat genom att sönderdela, men det här exemplet valdes för att hålla divisionen relativt enkel).

tips

Om du, under en lång delning på ett polynom, har en rest som inte är lika med 0, kan du göra den vila delen av kvoten genom att skriva den som en fraktion som har resten som en täljare och divisorn som nämnare. Om, i vårt exempel, utdelningen hade varit x² + 11 x + 12 istället för x² + 11 x + 10, skulle divisionen med x + 1 ha lämnat en återstod av 2. Den fullständiga kvoten skulle då skrivas som: ${ displaystyle x + 10 + { frac {2} {x + 1}}}$
Om utdelningen har ett vakuum i graden av villkoren, skriv 3x³+9x²+18, kan du skriva in den saknade termen med en koefficient på 0, i detta fall 0x, för att göra det lättare att placera de övriga villkoren i divisionen. Om du gör detta ändras inte utdelningsvärdet.
Var medveten om att vissa algebra böcker tenderar att motivera utformningen av förhållandet och utdelning polynom divisioner eller presentera villkoren så att element med samma grad i båda polynom är i linje med varandra. Det kan vara lättare, men när du gör hand divisionerna motivera dela upp kvoten och vänster som beskrivs i de tidigare stegen.

varningar

Håll kolumnerna inriktade när du delar långa polynomier för att undvika att subtrahera fela termer.
När du skriver kvoten av en polynomavdelning som innehåller ett fraktionselement, använd alltid ett plustecken mellan hela talet (eller hela variabeln) och fraktionselementet.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade