Hur man löser en rekursiv rapport

När man letar efter en formel för vissa matematiska sekvenser består ett mellanliggande steg av att söka efter den femtiende termen, inte som en funktion av "n", men som en sekvens av de första termerna. Det skulle till exempel vara trevligt att ha en sluten formel för femtiotalet av Fibonacci-sekvensen, men ibland är allt vi har ett rekursivt förhållande, dvs vi vet att varje term i Fibonacci-sekvensen är summan av de två föregående. Denna artikel kommer att presentera några metoder för att avleda en formel som stängs av ett rekursivt förhållande.

steg

Metod 1

2

Eftersom varje term anges av föregående plus 3 kan det uttryckas som ett återfall, som visas i figuren.

3

Tänk alltid på att någon återkommande formel a_n = a_n-1 + d är en aritmetisk sekvens.

4

Skriv den slutna formeln som en aritmetisk sekvens, eventuellt med vissa okända som visas i figuren.

5

Hitta de okända på grundval av hur formeln börjar. I detta fall, eftersom 5 är termen 0, kommer formeln att vara a_n = 5 + 3n. Om du istället vill överväga 5 första termen, skulle du behöva_n = 2 + 3n.

Metod 2

2

Eftersom varje term är två gånger den tidigare kan den uttryckas som en rekursiv relation med hjälp av formeln som visas i figuren.

3

Vi vet att varje återkommande formel a_n = r * a_(N-1) det är en geometrisk sekvens.

4

Skriv formeln stängd för en geometrisk sekvens, eventuellt med vissa okända som visas.

5

Lös de okända på grundval av hur formeln börjar. I detta fall är 3 termen 0, så formeln blir en_n = 3 * 2ⁿ. Med tanke på 3 är första termen, skulle du istället komma till_n = 3 * 2^(N-1).

Metod 3

2

Varje förekomst av den visade formeln, dvs de där p (n) är något polynom i n, kommer att ha en sluten polynom formel med en grad högre än graden av p.

3

Skriv den allmänna formeln för ett polynom i önskad grad. I det här exemplet är p en fyrkant, så du behöver en kubisk exponent för att representera sekvens a_n.

4

Eftersom en generisk kub har fyra okända koefficienter krävs fyra termer av sekvensen för att lösa det resulterande systemet. Var och en av de fyra kan göra det, så du kan använda termerna 0, 1, 2 och 3. Gå tillbaka med återkommande för att hitta termen -1 kan ge dig en enklare lösning av systemet, men det är inte nödvändigt.

5

Lös upp det resulterande systemet med gradekvationer "° (p) 2" med ett antal okända lika med "° (p) = 2" som illustreras i figuren.

6

om "till" var en av de termer du använde för att lösa koefficienterna, kommer du att få den konstanta termen av polynomet och låter dig minska systemet till en grad ekvation "° (p) 1" med ett antal okända lika med "° (p) 1" (se figur).

7

Lös systemet med linjära ekvationer för att erhålla c₃ = 1/3, c₂ = -5/2, c₁ = -17/6 och c = 5. Representerar formeln stängd för a_n som ett polynom med kända koefficienter.

Metod 4

2

Skriv det karakteristiska polynometret av återfallet. Den erhålls genom att ersätta varje a_n på årsdagen med xⁿ och dela med x^(N-k) erhålla en monom av grad k och en konstant term annan än noll.

3

Lös det karakteristiska polynomet. I detta fall är karaktäristiken av andra graden, så det är möjligt att använda formeln av kvadratiska ekvationer att hitta sin rot.

4

Varje uttryck av den visade formeln uppfyller återfallet. C_den är varje konstant och grunden för exponenterna är rötterna till karaktäristiken beräknad i föregående steg. Det kan verifieras genom induktion.

5

Beräkna termen c_den som uppfyller de specifika initiala villkoren som anges. Som i polynomins exempel erhålls detta resultat genom att skapa ett linjärt system av ekvationer från de ursprungliga termerna. Eftersom exemplet har två okända, kommer två termer att behövas. Det spelar ingen roll vilka som är, så du kan ange villkoren 0 och 1 för att undvika att behöva höja ett irrationellt tal med för hög effekt.

6

Lös det resulterande ekvationssystemet.

7

Ange de konstanter som erhållits i den allmänna formeln som en lösning.

Metod 5

2

Skriv sekvensgenereringsfunktionen. En genereringsfunktion är helt enkelt en formell serie befogenheter vars koefficient xⁿ det är den femtiende termen av sekvensen.

3

Ändra genereringsfunktionen som visas i figuren. Målet vid denna punkt är att hitta en ekvation som låter dig lösa genereringsfunktionen A (x). Extrahera den ursprungliga terminen. Använd återkommande formel till de villkor som förblir. Dela summan. Extrahera de konstanta termerna. Använd definitionen av A (x). Använd formeln för summan av en geometrisk serie.

4

Få genereringsfunktionen A (x).

5

Hämta koefficienten xⁿ i A (x). Metoderna för att erhålla denna förändring enligt vad A (x) ser ut, men den för de partiella fraktionerna, kombinerad med kunskapen om genereringsfunktionen hos en geometrisk sekvens, är den som visas i figuren.

6

Skriv formeln för a_n identifiera koefficienten av xⁿ i A (x).