Hur man beräknar längden på en triangels Hypotenuse

Det finns ingen matematisk tentamen som inte innehåller beräkningen av hypotenusen av minst en rätvinkad triangel - du behöver dock inte oroa dig för att det är en enkel beräkning! Alla rektangel trianglarna har en rätt vinkel (vid 90 °) och motsatt sida vid denna vinkel kallas hypotenusen. Den grekiska filosofen och matematikern Pitagora, 2500 år sedan, hittade en enkel metod för att beräkna längden på den här sidan, som fortfarande används idag. Denna artikel kommer att lära dig hur du använder "Pythagoras teorem" när du känner längden på de två katetrarna och utnyttjar `Bröstets teori` när du bara känner längden på en sida och bredden på en vinkel (förutom den rätta). Slutligen får du möjlighet att känna igen och memorera värdet av hypotenusen i trianglar med speciella rektanglar som ofta förekommer i matteprov.

Metod 1

Pythagorasats

Lär dig `Pythagoras teorem`. Denna lag beskriver förhållandet som finns mellan sidorna av en rät vinkel och är en av de mest använda i matematik (även i klassuppgifterna!). Statsen säger att i varje rektangel triangel vars hypotenus är "c" och katetrarna är "a" och "b" är förhållandet giltigt: till² + b² = c².

Se till att triangeln är rektangel. Faktum är att pythagorasatsen endast är giltig för denna typ av triangel, eftersom den enligt definition är den enda som har en hypotenus. Om den aktuella triangeln har en vinkel som exakt mäter 90 °, står du inför en rät vinkel och du kan fortsätta med beräkningarna.

Riktvinklar identifieras ofta, både i läroböcker och i klassarbete, med en liten bild. Detta specialtecken betyder "90:e".

Tilldela variablerna a, b och c till sidorna av triangeln. Variabeln "c" Den är alltid tilldelad hypotenusen, den längsta sidan. Cateti kommer att vara till och b (oavsett i vilken ordning, ändras inte resultatet). Ange nu de värden som motsvarar variablerna i form av Pythagorasatsen. Till exempel:

Om kattarna i triangeln mäter 3 och 4, tilldela dessa värden till bokstäverna: a = 3 och b = 4- ekvationen kan skrivas om som: 3² + 4² = c².

Hitta kvadraterna av a och b. För att göra detta enkelt multiplicera varje värde för sig själv, då: till² = a x a. Hitta rutorna a och b och ange resultaten i formeln.

Om a = 3, a² = 3 x 3 = 9. Om b = 4, b² = 4 x 4 = 16.

När dessa tal har angivits i formeln ska ekvationen se så här ut: 9 + 16 = c².

Summa mellan dem värdena på till² och b². Ange resultatet i formeln och du kommer att ha ett värde av c². Bara ett sista steg saknas och du har löst problemet.

I vårt exempel får du 9 + 16 = 25, så du kan säga det 25 = c².

Extrakt kvadratroten av c². Du kan använda funktionen för din kalkylator (eller ditt minne eller multiplikationstabeller) för att hitta kvadratroten av c². Resultatet motsvarar längden på hypotenusen.

För att slutföra beräkningarna av vårt exempel: c² = 25. Kvadratroten på 25 är 5 (5 x 5 = 25, sedan Sqrt (25) = 5). Det betyder det c = 5, längden på hypotenusen!

Metod 2

Trianglar speciella rektanglar

Lär dig att känna igen Pythagorean Backhoe. Dessa är sammansatta av tre heltal (förknippade med sidorna av rektangel trianglarna) som uppfyller Pythagoras teorem. Dessa är trianglar som används mycket ofta i geometriska läroböcker och i klassuppgifter. Om du memorerar, i synnerhet de första två Pythagorean Backhoe, sparar du mycket tid under tentamen eftersom du omedelbart vet värdet av hypotenusen!

Den första pythagoranska Terna är: 3-4-5 (3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). Om du erbjuds en rätvinklig triangel vars katetrar är 3 och 4, kan du vara säker på att hypotenusen är 5 utan att behöva göra några beräkningar.
Den pythagoranska ternen gäller även för multiplar på 3-4-5, förutsatt att proportionerna mellan de olika sidorna bibehålls. Till exempel en rätvinklig triangel 6 och 8 kommer att ha den hypotensiva lika med 10 (6² + 8² = 10², 36 + 64 = 100). Samma sak gäller 09/12/15 och även för 1,5-2-2,5. Försök att verifiera det själv med de matematiska beräkningarna.
Den andra pythagoranska Terna är mycket utbredd i mattexamen 05/12/13 (5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169). Även i detta fall är multiplar som respekterar proportionerna giltiga, till exempel: 10-24-26 och 2,5-6-6,5.

Lagrar relationerna mellan sidorna av en triangel med 45-45-90 vinklar. I det här fallet står vi inför en rätvinklig triangel, som ofta används i klassrumsuppgifter, och problem som är relaterade till det är enkla att lösa. Förhållandet mellan sidorna, i detta specifika fall, är 1: 1: Sqrt (2) vilket innebär att katetrarna är lika med varandra och att hypotenusen är lika med kateterets längd multiplicerad med tvåhjulets rot.

För att beräkna hypotenusen av en isosceles rätvinkad triangel av vilken du känner längden på en kateter, är det tillräckligt att multiplicera sistnämnda med värdet av Sqrt (2).

Att veta förhållandet mellan sidorna är mycket användbart när problemet ger dig värdena på sidorna uttryckt som variabler och inte som heltal.

Lär dig förhållandet mellan sidorna av en triangel med vinklar 30-60-90. I detta fall har du en rät vinkel med vinklar på 30 °, 60 ° och 90 °, vilket motsvarar hälften av en liksidig triangel. Sidorna på denna triangel har ett förhållande som är lika med: 1: Sqrt (3): 2 eller: x: Sqrt (3) x: 2x. Om du känner till längden på en kateter och du måste hitta hypotenusen är proceduren väldigt enkel:

Om du vet värdet på den nedre katetern (den motsatta i 30 ° vinkeln), multiplicera du bara längden med två och hitta värdet på hypotenusen. Till exempel, om det mindre benet är lika med 4, hypotenus är lika med 8.

Om du vet värdet av huvudkatetern (den motsatta vid 60 ° vinkeln) multiplicera du längden med 2 / sqrt (3) och du kommer att få värdet av hypotenusen. Till exempel, om huvudkatetern är 4, hypotenus måste vara 4,62.

Metod 3

Sine teorem

Förstå vad som är "bröst". Villkoren "bröst" "cosinus" och "tangens" de hänvisar alla till olika förhållanden mellan vinklarna och / eller sidorna av en rätvinklad triangel. I en högra triangel den bröst av en vinkel definieras som längden på sidan mitt emot hörnet dividerat med längden på triangelns hypotenus. I räknare och ekvationer förkortas denna funktion med symbolen: synd.

Lär dig att beräkna bröst. Även de enklaste vetenskapliga räknarna har funktionen att beräkna sinusen. Kontrollera nyckeln som indikeras med symbolen synd. För att hitta sinusens hörn måste du trycka på knappen synd och ange sedan vinkelvärdet uttryckt i grader. I vissa modeller av miniräknare måste du göra exakt motsatsen. Gör några test eller kolla din räknarens manual för att förstå hur det fungerar.

För att hitta bröstet med en 80 ° vinkel måste du skriva synd 80 och tryck på enter eller lika nyckel eller du måste skriva 80 synd. (Resultatet är -0,9939.)

Du kan också göra en online-sökning med ord "bröstkalkylator", hittar du många virtuella räknare som kommer att kasta ljus på många tvivel.

Lär dig `Bröstets teorem`. Det är ett mycket användbart verktyg för att lösa problem relaterade till rektangel trianglar. I synnerhet kan du hitta värdet på hypotenusen när du känner till längden på ena sidan och värdet av en annan vinkel utöver den rätta. I varje rektangel triangel vars sidor är till, b och c med hörn EN, B och C Sine Theorem säger att: a / synd EN = b / synd B = c / synd C.

Sine Theorem kan tillämpas för att lösa problem i varje triangel, men endast de rektanglarna har hypotenusen.

Tilldela variablerna a, b och c till sidorna av triangeln. Hypotenuse måste vara "c". För enkelhet kallar vi den kända sidan "till" och den andra "b". Tilldelar nu variablerna A, B och C till hörnen. Det motsatta mot hypotenusen måste kallas "C". Den motsatta sidan "till" det är hörnet "EN" och det motsatta sidan "b" det heter "B".

Beräkna värdet på det tredje hörnet. Med tanke på att man är upprätt, vet du det C = 90 ° du kan enkelt beräkna värdena på EN eller B. Summan av en triangels inre vinklar är alltid 180 ° så att du kan ställa in ekvationen: 180 - (90 + A) = B som också kan skrivas som: 180 - (90 + B) = A.

Till exempel, om du vet det A = 40 °, sedan B = 180 - (90 + 40). Utför beräkningarna: B = 180-130 få det: B = 50 °.

Undersök triangeln. Vid denna tidpunkt bör du veta värdet av de tre hörnen och längden på sidan a. Nu måste du ange denna information i formuläret för Sine Theorem för att bestämma längden på de andra två sidorna.

För att fortsätta med vårt exempel, överväga att a = 10. Vinkeln C = 90 °, vinkeln A = 40 ° och vinkeln B = 50 °.

Applicera Sine Theorem till triangeln. Du måste ange de kända värdena i formeln och lösa det för c (längden på hypotenusen): a / synd A = c / synd C. Formeln kan verka komplicerad, men bröstet på 90 ° är en konstant och är alltid lika med 1! Förenkla nu ekvationen: a / synd A = c / 1 eller: a / synd A = c.

Dela längden på sidan till för bröstet på hörnet EN för att hitta värdet av hypotenusen! Du kan göra det i två olika steg, först genom att beräkna bröst av A och anteckna resultatet och sedan dela det senare med a. Alternativt anger du alla värden i räknaren. Om du föredrar den andra metoden, glöm inte att skriva in parenteserna efter divisionen. Skriv till exempel: 10 / (synd 40) eller 10 / (40 synd), baserat på räknemodellen.

I vårt exempel hittar du det synd 40 = 0,64278761. Vid denna punkt att hitta c, dela längden på a för detta nummer: 10 / 0,64278761 = 15,6, detta är värdet av hypotenuslängden!

Dela på sociala nätverk:

Relaterade