Hur man beräknar området för en Pentagon

En femkant är en polygon vars sidor består av fem linjer. Nästan alla matematiska problem som du kommer att behöva möta i din scholastiska karriärstudie regelbundna pentagoner, som sedan består av fem identiska sidor. För att beräkna området för denna geometriska figur finns två metoder som kommer att användas baserat på informationen i besittning.

Metod 1

Beräkna området från sidan längd och antagande

Börja från mätningen av sidan och apoten. Denna metod kan appliceras på vanliga femkantiga, som därför har 5 identiska sidor. Förutom att veta längden på sidorna måste du också veta längden på apoten. till "lutande" en femkant betyder linjen som börjar från mitten av figuren skär en sida med en rät vinkel på 90 °.

Förvirra inte apoten med radien, vilket i det här fallet är den linje som sammanfogar mitten av figuren med en av femkantens vinklar. Om den enda data i din besittning är längden på sidan och radieen, använd metoden som beskrivs i det här avsnittet.
I detta exempel studeras en femkant med långsidor 3 enhet och den långa apoten 2 enheter.

Dela in pentagonen i fem trianglar. För att göra så rita 5 raka linjer som förbinder mitten av figuren med var och en av punkterna (fem hörn av figuren). I slutet har du fått fem lika trianglar.

Beräkna ytan av en triangel. Varje triangel kommer att ha liknande basis ena sidan av pentagonen och hur höjd apoten (kom ihåg att höjden på en triangel är linjen som sammanfogar vertexen och motsatt sida skapar en rätt vinkel). För att beräkna området för varje triangel, använd helt enkelt den klassiska formeln: (bas x höjd) / 2.

I vårt exempel får vi: Area = (3 x 2) / 2 = 3 fyrkantiga enheter.

Multiplicera området för en enda triangel med fem. Efter att ha delat en vanlig femkant i fem trianglar, kommer de senare att vara identiska. Vi härleder oss därför att för att beräkna det totala ytan på femkanten kommer vi helt enkelt att multiplicera området för en enda triangel med fem.

I vårt exempel får vi: Area = 5 x (triangle area) = 5 x 3 = 15 fyrkantiga enheter.

Metod 2

Beräkna ytan från sidan längd

Delar från längden på ena sidan. Den här metoden gäller endast för regelbundna pentagoner, det vill säga de har 5 identiska sidor.

I det här exemplet studerar vi en femkant som har långa sidor 7 enheter.

Dela in pentagonen i fem trianglar. För att göra så rita 5 raka linjer som förbinder mitten av figuren med var och en av punkterna (de fem hörnen). I slutet har du fått fem lika trianglar.

Dela en triangel i halv. För att spåra det, sträcker en linje som börjar från mitten av femkanten basen av en triangel som bildar en 90 ° vinkel. Du får då två identiska rektangel trianglar.

Vi studerar en av de rektangulära trianglarna. Vi vet redan en sida och ett hörn av vår lilla triangel, så vi kan härleda följande:

den basis av vår triangel kommer att vara lika med halva längden på sidan av pentagonen. I vårt exempel mäter sidan 7 enheter så basen blir lika med 3,5 enheter.

vinkeln vid centrum av en regelbunden femhörning bildas av radien och dall`apotema är det alltid av 36 ° (med början från axiom att turn vinkeln är 360 °, dividera pentagon i 10 rätvinkliga trianglar, då kommer vi att erhålla 360 ÷ 10 = 36. Så varje triangel kommer att ha hörnet som är sammansatt av basen och hypotenusen, med ett toppunkt i mitten av femkantet, vilket mäter 36 °).

Beräkna höjden på rektangel triangeln. höjden av triangeln sammanfaller med pentagonens apotem, är därför den raka linjen som börjar från mitten korsar sidan av pentagonen i en vinkel på 90 °. För att beräkna längden på denna sida kan vi hjälpa till med grundläggande begrepp av trigonometri:

I en högra triangel den tangens av en vinkel är lika med förhållandet mellan längden på den motsatta sidan och längden på den intilliggande sidan.

Sidan mitt emot 36 ° vinkeln är triangeln (som vi vet är lika med halva längden på sidan av femkanten). Sidan intill 36 ° vinkeln är triangeln.

solbränna (36º) = motsatt sida / intilliggande sida.

I vårt exempel får vi då: tan (36º) = 3,5 / höjd.

höjd x tan (36º) = 3,5

höjd = 3,5 / tan (36º)

höjd = 4,8 enhet (avrunda resultatet för att förenkla beräkningarna).

Låt oss beräkna området för triangeln. Området av en triangel är lika med: (bredd x höjd) / 2. Nu när vi vet höjdmätningen vi kan använda just nämnde formel för att beräkna området av vår rätvinklig triangel.

I vårt exempel ges området av: (bas x höjd) / 2 = (3,5 x 4,8) / 2 = 8,4 kvadratenheter.

Multiplicera ytan av en rät vinklad triangel för att få den totala ytan på pentagonen. En av de rektangel trianglarna vi studerade täcker exakt 1/10 av det totala området av figuren i fråga. Så vi härleda det för att beräkna den totala ytan på femkanten, multiplicera ytan av triangeln med 10.

I vårt exempel får vi följande: 8,4 x 10 = 84 fyrkantiga enheter.

Metod 3

Använd matematisk formel

Använd omkrets och apotem. till "lutande" en femkant betyder linjen som börjar från mitten av figuren skär en sida med en rät vinkel på 90 °. Om denna åtgärd är känd kan denna enkla formel tillämpas:

Området med en vanlig femkant är lika med: pa/ 2, var p är omkretsen e till det är längden på apoten.
Om du inte känner till omkretsen kan du beräkna den på följande sätt utgående från måttet på en sida: p = 5s, var s det är längden på en enda sida av pentagonen.

Använd måttet på ena sidan. Om du bara känner till storleken på en enda sida kan du använda följande formel:

Området med en vanlig femkant är lika med: (5s²) / (4tan (36º)), var s det är måttet på ena sidan av figuren.

solbränna (36º) = √ (5-2√5). Om du inte har en räknare som kan beräkna funktionen tan i en vinkel kan du använda följande formel: Area = (5s²) / (4√ (5-2√5)).

Välj formeln som bara använder radienmätningen. Du kan beräkna området med en vanlig femkant, med utgångspunkt från måttet av dess radie. Formeln är följande:

Området med en vanlig femkant är lika med: (5/2)r²synd (72º), var r det är strålens mått.

tips

För att göra matematiska beräkningar mindre komplicerade användes avrundade exempel i exemplen i denna artikel. Genom att beräkna området och andra mätningar med hjälp av verkliga data, utan att göra några rundor får du lite annorlunda resultat.
Om möjligt gör du beräkningarna med både den geometriska metoden och den aritmetiska formeln och jämföra resultaten som erhållits för att bekräfta resultatet. Genom att utföra beräkningen av det aritmetiska formel i ett enda steg (utan att utföra avrundning från mellansteg) kan du få en något annorlunda resultat, men ändå mycket lik den första. Denna skillnad genereras eftersom avrundningarna av alla steg som utgör den slutliga formeln som används utförs inte.
Studien av oregelbundna pentagoner (där sidorna av figuren inte är lika) är mycket mer komplexa. Normalt är det bästa sättet att dela den oregelbundna pentagonen i trianglar, av vilka alla områden kommer att läggas till. Alternativt kan du behöva gå vidare på följande sätt: Rita en figur som omger femkanten, beräkna området och dra av det området som inte ingår i femkanten.
Matematiska formler erhålls med geometriska metoder som mycket liknar de som beskrivs i denna artikel. Försök att ta reda på hur de använda formlerna härleddes. Formeln som använder radien är mycket svårare att dra av än de andra (tips: du måste använda dubbla identiteten på hörnet).

Visa mer ... (3)

Dela på sociala nätverk:

Relaterade

Hur man beräknar området för en Pentagon

steg

Metod 1

Metod 2

Metod 3

tips