Hur man använder Pythagorasats

Mer än 2500 år sedan upptäckte den grekiska matematikern Pythagoras en teori som fortfarande används idag. Pythagoras teorem säger att: I varje rektangulär triangel är torget som är konstruerat på hypotenusen alltid lika med summan av de kvadrater som är byggda på katetrarna. Algebraiskt skrivet: a² + b² = c².

Det finns många användningar av den pythagoranska stolen. Det kan till exempel användas för att beräkna avståndet mellan två städer med hjälp av en referenspunkt eller storleken på en vektor, med tanke på dess horisontella och vertikala komponenter.

Metod 1
I de högra trianglarna

Skriv pythagorasatsen: a2 + b2 = c2 och rita en triangelfigur du löser.

Namnge din triangel. Nämn de två kortare sidorna "a" och "b" (oavsett vad är a och vad är b) och namnge hypotenusen (längst motsatt vinkeln) "c".

Bestäm värdet av vilken sida du försöker hitta: a, b eller c. Vanligtvis får du två sidor och du måste använda stämningen för att hitta den tredje.

Skriv om ekvationen med kända värden.

Om du vet värdet av de två katetrarna (till exempel 3 och 4), skriv:
3² + 4² = c²

Om du vet värdet av en kateter och hypotenus (till exempel 3 och 5), skriv:
3² + b² = 5²

Beräkna torget.

Det första exemplet ska skrivas enligt följande: 9 + 16 = c ².

Den andra: 9 + b2 = 25.

Lägg till medlemmar.

I detta fall är alla medlemmar i vänster sida av ekvationen tal, så vi kan lägga till dem för att få: 25 = c².

I det andra exemplet måste du subtrahera 3 ² från båda sidor av ekvationen för att isolera variabeln.

Gör kvadratroten. När du har gjort kvadratroten på båda sidor av ekvationen kommer du att förbli med c = 5.

Exempel: Med tanke på en hypotenus av värde 10 och en katet av värde 8, beräkna värdet på den andra kateten.

a² + b² = c²

(8) ² + b² = (10) ²

64 + b2 = 100

b2 = 100 - 64

b2 = 36

b = kvadratroten på 36

b = 6

Exempel: En trappa lutar mot en byggnads vägg. Trappans botten mäter 5 meter från mitten av väggen. Trappan når tjugo meter av palatsmuren. Hur lång är stegen?

"5 meter från väggens botten" betyder a = 5 och "når tjugo meter av väggen" betyder b = 20. Steglängden är hypotenusen, så c är okänd.

a² + b² = c²

(5) ² + (20) ² = c²

25 + 400 = c2

425 = c2

c = kvadratroten av 425

c = 20,6 (avrundad till närmaste tio)

Så den ungefärliga längden på skalan är 20,6 meter.

Metod 2
Som en del av distansformeln

Avståndsformeln används i geometri för att hitta avståndet mellan några två punkter.

Bestäm vilka punkter som ska användas. Vanligtvis ges poängen som beställda par.

Rita poäng på ett diagram. (x, y) där x är den horisontella axeln och y är den vertikala axeln.

Hitta längden på sidorna på din triangel. Du kan beräkna det genom att räkna skillnaden i diagrammet eller använda (x₁ - x₂) för x och (y₁ - y₂) för y.

Använd Pythagoras teorem. Avståndet mellan de två punkterna är trekantens hypotenus.

exempel:

Använd punkterna (3,5) och (6,1):

3-6 = -3 (x)

5-1 = 4 (y)

(-3) ² + (4) ² = c²

c = rot (9 + 16)

c = rot (25)

c = 5

Metod 3
I oreagerade trianglar med hjälp av trigonometri

Detta avsnitt tar exempel på de två ovannämnda städerna: i det här fallet måste du hitta värdet av avståndet mellan stad A och stad C.
För denna övning anser du att katetrarna a och b är kända (se ritningen nedan).

Rita din triangel.

Rita höjden. Höjd är en linje vinkelrätt mot hypotenusen som passerar genom det motsatta vertexet. I detta fall är höjden "c".

Mät vinkeln mellan linjen som förbinder staden A till stad B och höjdlinjen.

Vanligtvis kommer vinkeln att ges i sådana problem. I annat fall mäta vinkeln med en grader.

Använd den trigonometriska funktionen för cosinus för att hitta längden på höjden:Om längden "a" är känd, då: Cos (A) = c / a och c = aCos (A)

Använd Pythagoreas teorem för att hitta längden på linjen som börjar från stad A och når höjden:
x1 = root (a² - c²)

Använd Pythagoras teorem för att hitta avståndet mellan höjden och staden C: x2 = root (b² - c²)

Gör summan av x1 och x2.

exempel: Exempel: Bo i stad A och ha en vän som bor i stad C och du vill veta hur långt din vän lever från dig. Du vet att staden B är ca 50 miles och en annan 100 miles därifrån till stad C. Hur långt är staden från stad C? (Runderar alla beräkningar till närmaste tionde)

Rita höjden och mäta vinkeln.

Använd cosinusfunktionen för att hitta längden på höjden:
längd = 50 x Cos (30) = 50 x 866 avrundad till 43,3 miles

Använd Pythagoras teorem för att hitta längden på x1:
x1 = rot (50² - 43,3²) = root (625.11) = 25,0 miles

Använd Pythagoras teorem för att hitta längden på x2-avståndet:
x2 = rot (100² - 43,3²) = rot (8125,1) = 90,1 miles

Lägg till de två avstånden för att hitta det totala avståndet:
x1 + x2 = 25 + 90,1 = 115,1 miles

Metod 4
I Vector Additions

Pythagorasatsen används för att beräkna de resulterande vektorerna. Detta kan göras genom att dela vektorerna i komponenterna "x" och "y" (och "z" i det tredje) och lägga dem som komponenter. De resulterande komponenterna (kateterna i den högra triangeln) kan användas för att beräkna den resulterande (hypotenuse).

Dela vektorerna i x- och y-komponenterna. Vektorerna har en riktning och en magnitud: riktningen är vinkeln skapad i moturs riktning från den positiva axeln x-storleken är vektorns längd. För att dela vektorn i komponenter måste du använda trigonometri. Till exempel en vektor med "M" -storlek och en "30" -vinkel:

x = M * cos (30)
y = M * sin (30)

Lägg till komponenter. Nu när vektorerna sönderdelas i x- och y-komponenterna, gör summan av x-komponenterna och summan av y-komponenterna. Dessa är kättorna i triangeln.

Använd Pythagoras teorem. I detta fall (summa av x) ² + (summa av y) ² = c², där "c" är den resulterande storleken.

exempel:

Additionsvektorer (10.30) och (15.45):

[10cos (30) + 15cos (45)] = 19.27 (avrundad till närmaste hundra) # * (x)

[10sin (30) + 15sin (45)] = 15,61 (avrundad till närmaste hundra) # * :( y)

(19,27) ² + (15,61) ² = c²

c = rot (371.3329 + 243.6721)

c = rot (615.005)

c = 24,80

tips

Om triangeln inte är rak, behöver du mer information än längden på de två katetrarna.
Hypotenusen är alltid:

intill det högra hörnet (rör inte det)
den längsta sidan av den högra triangeln
ersätter med "c" i Pythagoreas teorem

root (x) betyder "kvadratroten av x"

Om du bara har storleken på en kateter, så fungerar inte Pythagoras teorem. Försök använda trigonometri eller 30-60-90 / 45-45-90 rapporter.

Diagram är nyckeln till att korrekt ange värdena a, b och c. Om du arbetar med ett problem med en text, var noga med att översätta den till ett diagram först.

Kom ihåg att kolla ditt arbete mer än en gång. Om svaret inte verkar korrekt, försök igen.

En annan kontroll - den längsta sidan kommer att vara mitt emot det bredare hörnet och den kortare sidan kommer att vara mitt emot det mindre hörnet.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade