Hur man löser differentiella ekvationer

I en kurs på differentialekvationer De derivat som studeras i en analysförlopp används. Derivatet är måttet på hur mycket det ändras en mängd när en sekund varierar - till exempel hur mycket objektets hastighet ändras med hänsyn till tiden (i jämförelse med lutningen). Liknande förändringsåtgärder förekommer ofta i vardagen. Till exempel, lagen om sammansatt intresse uppger att hastigheten för ansamling av intresse är proportionell till den ursprungliga kapital, som ges av dy / dt = ky, där y är föreningen intresse summa pengar tjänade, t är tid, och k är en konstant (dt är en momentant tidsintervall). Även om kreditkortets intresse sammantaget är sammansatt dagligen och rapporteras som april, årlig procentsats, en differentialekvation kan lösas för att ge den momentana lösningen y = ce ^ (kt), där c är en godtycklig konstant (fast ränta). Denna artikel kommer att visa dig hur man löser vanliga differentialekvationer, särskilt inom mekanik och fysik.

steg

Metod 1

2

Identifiera ordningen och graden av differentialekvationen. L `beställa av en differentialekvation bestäms av det högsta ordningsderivatet - il grad den ges av den högsta effekten av en variabel. Till exempel är differentialekvationen som visas i Figur 1 Det är andra och tredje graden.

Metod 2

2

Om variablerna inte kan separeras, kolla om det är en homogen differentialekvation. En differentialekvation M dx + N dy = 0, är ​​homogena om substitution av x och y med λx och λy resultat i den ursprungliga funktionen multiplicerat med en potens av λ, där λ av effekt definieras som graden av den ursprungliga funktionen. Om så är fallet följer du stegen nedan. Se figur 3 som ett exempel.

3

Om differentialekvationen inte kan lösas med hjälp av de två metoderna som förklarats ovan, försök att uttrycka det som en linjär ekvation i formen dy / dx + Py = Q, där P och Q är funktioner av x ensamt eller är konstanter. Observera att här x och y kan användas omväxlande. Om så är fallet fortsätt enligt följande. Se figur 4 som ett exempel.

4

Lös upp Bernoulli ekvationen: dy / dx + p (x) y = q (x) yⁿ, enligt följande:

Metod 3

3

För att lösa en mer generell linjär differentialekvation, kontrollera om differentialekvationen uppfyller formen som visas i ekvation (1) i Figur 7. Om så är fallet kan differentialekvationen lösas genom att följa följande steg. Se till exempel stegen i Figur 7.

Den fullständiga lösningen av (1) ges av y = u + v.

Metod 4

2

Upplösning av linjära differentialekvationer av den n: e ordningen med konstanta koefficienter: Kontrollera om differentialekvationen uppfyller formen som visas i ekvation (1) i figur 9. Om så är fallet kan differentialekvationen lösas enligt följande:

3

För att lösa en linjär differentialekvation av nth mest generella ordningen, kontrollera om differentialekvationen uppfyller formen som visas i ekvation (1) i Figur 10. Om så är fallet kan differentialekvationen lösas med en metod som liknar den som användes för att lösa andra ordningens linjära differentialekvationer, enligt följande:

• Observera att Förbundsrättslagstiftningen gäller på många områden i det dagliga livet. Antag att vi vill späda en saltlösning genom att tillsätta vatten för att minska dess saltkoncentration. Hur mycket vatten kommer du att behöva lägga till och hur varierar koncentrationen av lösningen med den hastighet som du driver med vattnet på?
  
  Låt s = mängd salt i lösningen hela tiden, x = mängden vatten som passerat in i lösningen och v = lösningens volym. Koncentrationen av salt i blandningen ges av s / v. Antag nu att en volym Δx kommer ut ur lösningen så att mängden läckt salt är (s / v) Δx, från vilket förändringen i mängden salt, Δs, ges av Δs = - (s / v) Δx. Dela båda sidorna med Δx, för att ge Δs / Δx = - (s / v). Ta gränsen som Δx-->0, och du kommer att ha ds / dx = -s / v, vilket är en differentialekvation i form av föreningsräntelagen där y är s, t är x och k är -1 / v.
• 
  Newtons "kyllag" är en annan variant av föreningsräntelagen. Det bekräftar att kylens hastighet i förhållande till omgivningen i omgivningen är proportionell mot skillnaden mellan kroppstemperaturen och omgivningen. Låt x = kroppstemperatur överskrida omgivningen, t = tid - vi kommer att ha dx / dt = kx, där k är en konstant. Lösningen för denna differentialekvation är x = c och c (kt), där c är en godtycklig konstant, som ovan. Antag att överskotts temperaturen x var första 80 grader och föll till 70 grader efter en minut. Hur kommer det att vara efter 2 minuter?
  
  Data t = tid, x = temperatur i grader, vi kommer att ha 80 = ce ^ (k * 0) = c. Dessutom är 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k, så k = ln (7/8). Det följer att x = 70e ^ (ln (7/8) t) är en speciell lösning på detta problem. Ange nu t = 2, du kommer att ha x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grader efter 2 minuter.
• 
  Olika lager av atmosfären med avseende på tillväxt vid höjd över havetI termodynamik, atmosfärstryck p över havet ändras i proportion till höjden h över havet. Här är det också en variation av lagen av sammansatt intresse. Differentialekvationen i detta fall är dp / dh = kh, där k är en konstant.
• 
  I kemi, hastigheten hos en kemisk reaktion, i vilken x är den kvantitet som transformerats i en period t, är den temporala hastigheten för förändringen av x. Givet a = koncentrationen vid reaktionens början, då dx / dt = k (a-x), där k är hastighetskonstanten. Detta är också en variant av den sammanslagna räntelagen där (a-x) nu är en beroende variabel. Låt d (a-x) / dt = -k (a-x), så d (a-x) / (a-x) = -kdt. Integra, för att ge ln (a-x) = -KT + en, givet att a-x = a när t = 0. Ordna om, finner vi att konstanten k hastighet = (1 / t) ln (a / (a-x)).
• 
  elektromagnetism, ges en elektrisk krets med en spänning V och en ström den (ampere), spänningen V det genomgår en minskning när den övervinner motståndet R (ohm) av kretsen och induktionen L, enligt ekvationen V=iR + L (di / dt), eller di / dt = (V - iR) /L. Detta är också en variant av lagen av sammansatt intresse där V - iR det är nu den beroende variabeln.
• 
  I akustik, en enkel harmonisk vibration har en acceleration som är direkt proportionell mot det negativa värdet av avståndet. Kom ihåg att accelerationen är det andra avståndet av avstånd då d²s/dt² + k²s = 0, var s = avstånd t = tid och k² är måttet på acceleration vid enhetens avstånd. Det handlar om enkel harmonisk ekvation, en andra ordningens linjär differentialekvation med konstanta koefficienter, som upplöses i figur 6, ekvationer (9) och (10). Lösningen är s = c₁cos kt + c₂sin kt.
  
  Det kan förenklas ytterligare genom att upprätta c₁ = b synd A, c₂ = b cos A. Ersätt dem för att erhålla b sin A cos kt + b cos En sin kt. Från trigonometri vet vi att synden (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, så att uttrycket minskas till s = b sin (kt + A). Den våg som följer den enkla harmoniska ekvationen svänger mellan b och -b med en period 2π /k.
• 
  vår: Låt oss ta ett massobjekt m ansluten till en fjäder. Enligt Hooke`s lag, när våren förlänger eller komprimerar sig själv s enhet med avseende på dess ursprungliga längd (även kallad jämviktsställning) utövar en återställningskraft F proportionell mot s, eller F = -k²s. Enligt Newtons andra lag (kraft är lika med massprodukten för acceleration) kommer vi att ha m d²s/dt² = -k²s, eller m d²s/dt² + k²s = 0, vilket är ett uttryck för den enkla harmoniska ekvationen.
• 
  Bakpansar och fjäder på en BMW R75 / 5 motorcykelMjuka vibrationer: Tänk på våren i vibration som ovan, med en dämpkraft. Varje effekt, såsom friktionskraft, som tenderar att minska amplituden för oscillationer i en oscillator, kallas en dämpningskraft. Till exempel tillhandahålls en dämpkraft av bilens armotizer. Generellt är dämpkraften, F_d, det är ungefär proportionellt mot objektets hastighet, det vill säga F_d = -c² ds / dt, var c² det är en konstant. Genom att kombinera dämpkraften med återhämtningskraften kommer vi att ha -k²s - c² ds / dt = m d²s/dt², enligt Newtons andra lag. eller, m d²s/dt² + c² ds / dt + k²s = 0. Denna differentialekvation är en linjär andra ordningens ekvation som kan lösas genom att lösa hjälpekvationen mr² + c²r + k² = 0, efter ersättning s = e ^ (rt).
  Lös med den kvadratiska formeln r₁ = (-c²+ sqrt (c⁴- 4mk²)) / 2m- r₂= (-c² - sqrt (c⁴ - 4mk²)) / 2m.
• Sovrasmorzamento: Om c⁴ - 4mk² > 0, r₁ och r₂ de är verkliga och tydliga. Lösningen är s = c₁e ^ (r₁t) + c₂e ^ (r₂t). Med tanke på det c², m, och k² de är positiva, sqrt (c⁴ - 4mk²) måste vara mindre än c², vilket innebär att båda rötterna, r₁ och r₂, de är negativa, och funktionen är exponentiellt sönderfallande. I detta fall inte en oscillation äger rum. En stark dämpkraft kan exempelvis ges av en hög viskositetsolja eller ett smörjmedel.
• Kritisk dämpning: Om c⁴ - 4mk² = 0, r₁ = r₂ = -c² / 2m. Lösningen är s = (c₁ + c₂t) e ^ ((- c²/ 2m) t). Även detta är en exponentiell sönderfall utan oscillation. Den minsta minskningen, emellertid i dämpkraften, kommer att få objektet att oscillera när jämviktspunkten överskrids.
• Sottosmorzamento: Om c⁴ - 4mk² < 0, rötterna är komplexa, ges av -c / 2m +/ - ωden, där ω = sqrt (4mk² - c⁴)) / 2m. Lösningen är s = e ^ (- (c²/ 2m) t) (c₁ cos ωt + c₂ sin ωt). Det är en oscillation dämpad av faktorn e ^ (- (c²/ 2m) t. Med tanke på det c² och m de är båda positiva och ^ (- (c²/ 2m) t) kommer att tendera att noll när t den närmar sig oändligheten. Det följer att förr eller senare kommer cykeln att sönderfalla till noll.

tips

• Byt ut lösningen i den ursprungliga differentialekvationen för att se att ekvationen är nöjd. På så sätt kan du kontrollera om lösningen är korrekt.
• Obs! Den inverse av differentialberäkningen heter integrerad beräkning, som behandlar summan av effekterna av kvantiteter som ständigt förändras - till exempel beräkningen av avståndet (jämför med d = rt) som omfattas av ett objekt vars momentan variationer (hastighet) i ett tidsintervall är kända.
• Många differentialekvationer kan inte lösas med de metoder som beskrivits ovan. Ovanstående metoder är emellertid tillräckliga för att lösa många gemensamma differentialekvationer.