Hur man hittar någon term av en aritmetisk framsteg

En aritmetisk progression är en sekvens av siffror så att skillnaden mellan en term och dess nästa är konstant. Till exempel listan över jämnnummer ${ displaystyle 0-2-4-6-8}$ Det är en aritmetisk progression eftersom skillnaden mellan två på varandra följande värden är alltid 2. Om du vet att du arbetar med den här typen av progression, kan du behöva hitta någon term som tillhör dig. Ibland behöver problemet komplettera serien eller hitta termen som upptar hundrapositionen utan att skriva hela progressionen. Du kan lösa dessa frågor i några enkla steg.

Metod 1
Hitta nästa term

Bildnamn Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 2

Hitta det konstanta värdet (orsaken) till progressionen. När en lista med siffror presenteras kan problemets uppfattning innehålla information om att det är en aritmetisk sekvens eller du kan räkna ut det själv. I båda fallen ändras inte den första delen, väljer det första paret i följd och subtraherar det första från det andra. Det resulterande värdet representerar orsaken till progressionen.

Antag förmodligen att du har listan ${ displaystyle 1-4-7-10-13}$ .subtrahera ${ displaystyle 4-1}$ för att hitta den konstanta skillnaden på 3.
Tänk på en fallande lista som ${ displaystyle 25-21-17-13}$ ,du kan alltid subtrahera parets första sikt från den andra för att hitta orsaken - i det här fallet: ${ displaystyle 21-25 = -4}$ .Det negativa resultatet gör att du förstår att du arbetar med en minskande aritmetisk progression, men du bör alltid kontrollera tecken på orsak för att förstå sekvensens riktning.

Se till att skillnaden är konstant. Att hitta den som skiljer två på varandra följande siffror garanterar inte att progressionen är aritmetisk - du måste se till att orsaken är konstant för alla par i varandra följande termer i listan. För att göra detta, hitta skillnaden mellan två andra värden - om resultatet inte ändras för ett eller två ytterligare par, har en aritmetisk sekvens antagligen skrivits.

Överväga alltid det föregående exemplet,

{ displaystyle 1-4-7-10-13}

,och välj den andra och tredje termen. subtrahera

{ displaystyle 7-4}

för att finna att skillnaden alltid är 3. För ytterligare verifikation, kontrollera ett annat par genom att utföra operationen

{ displaystyle 13-10}

Resultatet av detta är fortfarande 3 - vid denna punkt kan du vara helt säker på att den föreslagna sekvensen är en numerisk progression.

Det är möjligt att en lista ser ut som en aritmetisk progression genom att endast observera de första termerna, medan i verkligheten förändras skillnaden mellan på varandra följande siffror senare. Tänk på listan

{ displaystyle 1-2-3-6-9}

skillnaden mellan den första och den andra termen är lika med 1 samt den mellan den andra och den tredje. Skillnaden mellan det tredje och fjärde numret är emellertid 3- eftersom anledningen inte är konstant för hela listan, kan du inte säga att det är en aritmetisk sekvens.

Summa orsaken till den sista terminen. Att hitta nästa term av en aritmetisk progression är ett mycket enkelt förfarande, när du vet den konstanta skillnaden, räcker det med att lägga till orsaken till den senast kända termen.

T.ex. med tanke på sekvensen

{ displaystyle 1-4-7-10-13}

,för att hitta nästa term lägg till orsaken till 3 till det senast angivna numret,

{ displaystyle 13 + 3}

,och du får 16. Du kan fortsätta så här som du vill, till exempel kan du skriva:

{ displaystyle 1-4-7-10-13-16-19-22-25}

och så vidare.

Metod 2
Hitta den saknade termen i Progressiv Inredning

Verifiera att listan som tillhandahålls är en aritmetisk progression. I vissa fall beskriver problemet en numerisk sekvens som saknar en medellång sikt. Som redan beskrivits i föregående avsnitt i artikeln, börja med att konstatera att listan verkligen är en aritmetisk sekvens. Välj ett par på varandra följande termer och beräkna skillnaden. Upprepa det för en annan par-om skillnaden är konstant, kan du anta att du befinner dig framför en aritmetisk progression och fortsätta med upplösningen av problemet.

Antag förmodligen att du har listan: ${ displaystyle 0-4}$ -___- ${ displaystyle 12-16-20}$ .Först avdrag ${ displaystyle 4-0}$ att hitta 4. Kontrollera ett annat par villkor, som ${ displaystyle 16-12}$ -även i detta fall är skillnaden 4, så du kan fortsätta med resten av beräkningarna.

Summa orsaken till sista terminen före det tomma utrymmet. Processen liknar den som du skulle följa för att hitta termen efter utgången av sequenza- i det här fallet, anser den sista kända värdet innan det tomma utrymmet, den främsta orsaken och hitta den saknade sikt.

Med hänvisning till föregående exempel,

{ displaystyle 0-4}

-___-

{ displaystyle 12-16-20}

,Numret som föregår den försvunna termen är 4- därför att lägga till

{ displaystyle 4 + 4}

få 8, numret du behöver skriva i det tomma utrymmet.

Dra av skälen till slutet efter det tomma utrymmet. För att du har hittat rätt lösning, ta ett test i "motsatt riktning" av sekvensen. En aritmetisk progression upprätthåller en konstant anledning (i absolut värde) oavsett vilken ordning du subtraherar i två på varandra följande termer. Om du flyttar längs sekvensen från vänster till höger måste du lägga till konstanten, medan du måste subtrahera den från motsatt riktning.

Håll alltid samma exempel i åtanke,

{ displaystyle 0-4}

-___-

{ displaystyle 12-16-20}

,Termen som är omedelbart efter det tomma utrymmet är 12 - från det här tar du bort värdet av orsaken (4) för att hitta det saknade numret:

{ displaystyle 12-4 = 8}

.Värdet 8 är den data som ska införas i det tomma utrymmet.

Jämför resultaten. De värden du fann att lägga till och subtrahera orsaken ska sammanfalla. I så fall har du hittat den saknade termen - om de istället är olika måste du dubbelklicka på det arbete som hittills utförts. Kanske är sekvensen inte riktigt aritmetisk.

I det ovan beskrivna exemplet är resultatet av summan (

{ displaystyle 4 + 4}

) och subtraktion (

{ displaystyle 12-4}

) är konstant, så den saknade termen är 8- den fullständiga progressionen är

{ displaystyle 0-4-8-12-16-20}

Metod 3
Hitta termen nth

Bildnamn Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 1

Identifierar sekvensens första term. Inte alla progressioner börjar med 0 eller 1. Titta på listan som gavs till dig och hitta det första numret som också representerar startpunkten. Du kan bestämma detta värde som en variabel "till (1)".

När man arbetar med aritmetiska progressioner är det vanligt att tilldela variabeln "till (1)" i första änden av listan - självklart kan du använda bokstaven du föredrar, resultatet ändras inte.
Tänk på exemplet på ${ displaystyle 3-8-13-18}$ -den första termen är ${ displaystyle 3}$ att du kan identifiera algebraiskt som "till (1)".

Identifiera orsaken till att du heter "d". Fortsätt som beskrivet ovan, för det beskrivna exemplet är orsaken

{ displaystyle 8-3}

,det vill säga 5. Kolla in andra progressionspar för att se till att de ger samma resultat. Du kan tilldela den algebraiska termen till anledningen "d".

Bildnamn Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 3

Använd den uttryckliga formeln. Det är en algebraisk ekvation som du kan använda för att hitta någon term av en aritmetisk progression utan att behöva lista alla värden. Formeln är:

{ displaystyle a (n) = a (1) + (n-1) d}

uttrycket "a (n)" det läser som "nte sikt av a", var "n" representerar den position som upptas av det nummer du vill hitta, medan "a (n)" det är samma term. Till exempel, om du behöver hitta hundraden av en progression, n = 100. Kom ihåg att i det här exemplet "n" det är lika med 100, medan "a (n)" det är termen som upptar den hundrade positionen och inte det faktiska numret 100.

Ange de villkor som är kända i formeln för att lösa problemet. Byt ut variablerna med informationen i din besittning för att hitta den saknade termen.

T.ex. med tanke på sekvensen

{ displaystyle 3-8-13-18}

,Du vet att (1) är den första termen och är lika med 3, under det att orsaken är 5. Antag att problemet kräver att hitta den term som upptar den hundrade plats, följaktligen n = 100 och (n-1) = 99 . I detta fall tar den uttryckliga formeln denna aspekt:

{ displaystyle a (100) = 3 + (99) (5)}

-gör beräkningarna du får 498, vilket är hundraden av progresionen.

Metod 4
Använd Explicit Formula för att hitta ytterligare information

Ändra positionen av formel termerna för att lösa den för andra variabler. Med hjälp av denna ekvation och lite elementär algebra kan du få olika uppgifter om aritmetisk progression. I sin ursprungliga form,

{ displaystyle a (n) = a (1) + (n-1) d}

,formeln tillåter att beräkna termen a_n, för att hitta sekvensens nio sikt - men du kan manipulera det algebraiskt för att identifiera de andra variablerna.

Antag att du vet de sista villkoren för en progression och måste beräkna den första redigeringen av den uttryckliga formeln för att ha: ${ displaystyle a (1) = (n-1) d-a (n)}$ .
Om du känner till inledande och avslutande änden av en sekvens, men vill veta hur många värden i det, kan du ordna ekvationsvariablerna för att kunna lösa "n": ${ displaystyle n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1}$ .
Om du behöver granska de elementära reglerna för algebra för att förstå dessa steg kan du läsa den här artikeln eller denna andra.

Hitta den första termen av en progression. Uttalandet av problemet kan indikera att det som upptar den femtionde positionen är lika med 300, att anledningen är 7 och att ditt jobb är att hitta den första termen. Använd den uttryckliga uttryckliga formeln för att lösa "till (1)" och hitta svaret.

Använd ekvationen

{ displaystyle a (1) = (n-1) d-a (n)}

och ersätt variablerna med den kända informationen. Sedan femtionde termen är 300 följer det att n = 50, (n-1) = 49 och a (n) = 300. Du vet också orsaken "d" vilket motsvarar 7. Ekvationen blir då:

{ displaystyle a (1) = (49) (7) -300}

.Utför beräkningarna:

{ displaystyle 343-300 = 43}

.Den aritmetiska sekvens där du arbetar börjar med termen 43 och möter en anledning till 7, så att du kan lista som: 43-50-57-64-71-78 ... 293-300.

Hitta längden på sekvensen. Antag att du vet både de ursprungliga och de sista villkoren, men du måste veta hur många värden hela framstegen innehåller. Använd den modifierade formeln:

{ displaystyle n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1}

Överväga en sekvens som börjar med nummer 100 och respekterar en anledning som är lika med 13. Problemet ger också den sista termen som är 2856. För att hitta längden av progression, du vet att en (1) = 100, d = 13 och (n ) = 2856. Sätt att data i formeln och hitta:

{ displaystyle n = { frac {2856-100} {13}} + 1}

.Om du gör operationerna får du:

{ displaystyle n = { frac {2756} {13}} + 1}

,vilket är lika med 212 + 1 = 213. Sekvensen innehåller 213 termer.

Progressionen av exemplet kan skrivas som: 100-113-126-139 ... 2843-2856.

varningar

Det finns olika typer av numeriska följder. Förutsätt inte att en lista med tal är en sekvens aritmetica- alltid kontrollerar minst två par av termer, helst tre eller fyra, för att hitta en konstant anledning.