Så här byter du en 3X3-matris

I algebra används datainversionsoperationer ofta för att förenkla det ursprungliga problemet, vilket annars skulle vara väldigt komplext att lösa. Till exempel, om du uppmanas att dela med ett bråkvärde, är multiplikation med den relativa ömsesidiga mycket enklare. I detta fall utförs en inversionsoperation. Detta begrepp gäller mycket bra för matriser, eftersom divisionen i detta sammanhang inte är en giltig operation, så problemet löses genom att multiplicera det med hjälp av de inverse matriserna. För att hitta den inverse av en 3x3-matris måste du utföra en stor mängd beräkningar manuellt, vilket kan tyckas vara ett tråkigt jobb, men det är värt att göra för att upptäcka de underliggande koncepten. I vilket fall som helst kan du använda en grafisk räknare med avancerade funktioner som kommer att utföra allt arbete på ett ögonblick.

Metod 1

Beräkna inversen med hjälp av den tillsatta matrisen

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix Steg 1

Kontrollera värdet av determinanten av matrisen som undersöks. För att veta om matrisen du studerar är inverterbar måste du först beräkna den bestämda. Om determinanten är 0 betyder det att ditt arbete redan är klart, eftersom den aktuella matrisen inte har en invers. Bestämningen av en matris M indikeras av det matematiska uttrycket det (M).

Att beräkna determinanten för en 3x3 matris, är det nödvändigt att först välja en rad eller en specifik kolumn, sedan beräkna den mindre av varje element i den rad eller kolumn väljs och summera ihop de erhållna resultaten respektera förtecken.
För mer information om hur man beräknar determinanten av en matris, se den här artikeln.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix Steg 2

Beräknar införlivandet av originalmatrisen. Detta steg innefattar att rotera matrisen 180 ° längs huvuddiagonalen. Med andra ord betyder det att vända positionsindexen för varje element i matrisen. Till exempel kommer det element som upptar positionen (i, j) att uppta positionen (j, i) och vice versa. När du införlivar elementen i en matris märker du att huvuddiagonalen (den som börjar från övre vänstra hörnet och slutar i nedre högra hörnet) förblir oförändrad.

Det är möjligt att tänka på processen för införlivande av en matris som i operationen som innebär att utbyta rader med kolumner. Den första raden blir då den första kolumnen, den mellanraden blir den centrala kolumnen och den tredje raden blir den tredje kolumnen. Observera bilden som följer med denna passage för att förstå grafiskt hur elementen i den matris som undersöks har ändrat sin position efter införlivandet.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix Steg 3

Beräknar mindre av varje element i den transponerade matrisen. Den mindre representerar determinanten av 2x2-matrisen som erhålls genom att radera raden och kolumnen till vilken ett specifikt element hör. Varje tal, variabel eller uttryck som är närvarande i en 3x3-matris är associerad med en 2x2-matris vars determinant kallas "lägre" just för att det hänvisar till en mindre uppsättning data. När du väl har valt ett element och raderat alla som tillhör samma rad och kolumn får du en 2x2-matris för att beräkna den mindre.

I den i föregående steg exempel, om du vill beräkna den mindre elementet som är belägen på den andra raden i den första kolumnen, är det nödvändigt att eliminera från beräkningen av alla element som ingår i den första kolumnen och den andra raden i matrisen. Bestämmelsen för den återstående 2x2-matrisen representerar det mindre av det valda elementet.

Beräknar den mindre delen av varje element som hör till den valda raden eller kolumnen genom att utföra de operationer och beräkningar som hittills visats i detta avsnitt i artikeln.

För mer information om hur man hanterar 2x2-arrays, se den här artikeln.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix Steg 4

Skapar kofaktormatrisen (även känd som matrisen av algebraiska komplement). Positionerar resultaten som erhölls i det föregående steget inom en ny matris, kallad samfaktorer, införande av mindre av varje element i det relativa läget för den ursprungliga matrisen. Till exempel kommer den mindre delen av elementet (1,1) av den ursprungliga matrisen att placeras i samma position av kofaktormatrisen. Ändra nu det algebraiska tecknet på varje element i den nya matrisen genom att multiplicera den med tecknet som rapporterats i samma position av referensmatrisen som du hittar i figuren som följer med passagen.

När du gör detta behåller det första elementet i matrisens första rad sitt ursprungliga tecken, det andra elementet kommer att ha det inverterade tecknet medan den tredje kommer att behålla sitt ursprungliga tecken igen. Fortsätt bearbeta resten av objekten i efterföljande rader med hjälp av det här schemat. Observera att skyltarna "+" och "-", som finns i referensmatrisen, anger inte det algebraiska tecknet som måste ha det relativa elementet i kofaktormatrisen, utan helt enkelt att det relativa elementet måste ha det inverterade tecknet (indikerat av symbolen "-") eller behåll den ursprungliga (indikerad av symbolen) "+").

För mer information om hur man erhåller kofaktormatrisen för en given matris, se den här artikeln.

Matrisen som härrör från detta steg kallas en tillsatt matris av den ursprungliga matrisen. Den tillsatta matrisen indikeras med matematisk uttrycks-agg (M).

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 5

Dela varje element i den matris som läggs till för den bestämda. Den senare är bestämd för startmatrisen M som vi har beräknat i de första stegen för att ta reda på om det var möjligt att invertera det. Dela varje värde av den tillsatta matrisen för determinanten. Positionerar resultatet erhållet från varje beräkning i stället för det relativa elementet i den tillsatta matrisen. Den resulterande nya matrisen representerar den inverse av den ursprungliga M-matrisen.

Till exempel, determinanten av matrisen av referens för detta avsnitt, som visas i de relaterade bilder, är lika med 1. Dela varje element av tillsatsen matris för vissa så kommer att resultera i tillsats matrisen själv (i detta fall var vi tur, men inte det är alltid så tyvärr).

Med avseende på det här sista steget, i stället för att dela, multiplicerar andra källor varje element i den tillsatta matrisen med invers av determinanten av den ursprungliga matrisen, dvs 1 / det (M). Matematiskt sett motsvarar de två operationerna.

Metod 2

Hitta den inverterade matrisen med hjälp av Strip Reduction

Bildnamn Hitta inversidan av en 3x3 Matrix steg 6

Lägg till identitetsmatrisen till originalmatrisen. Notera den ursprungliga matrisen, dra en vertikal separationslinje till höger och returnera sedan identitetsmatrisen till höger om den nyligen ritade linjen. Nu borde du ha en matris bestående av 3 rader och 6 kolumner.

Kom ihåg att identitetsmatrisen är en specialmatris, som består av element som antar värdet 1 anordnat längs huvuddiagonalen och element som tar värdet 0 i alla andra positioner. Gör en online-sökning för mer information om identitetsmatrisen och dess egenskaper.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 7

Utför radminskningen av den erhållna nya matrisen. Målet är att lyckas flytta identitetsmatrisen från höger sida till vänster om den nya matrisen. Genom att utföra operationerna i samband med minskningen med rader på matrisens vänstra sida måste du också tillämpa dem på höger sida, så att den börjar ta form av en identitetsmatris.

Kom ihåg att radminskningen av en matris utförs av en kombination av skalära multiplikationer och tillägg eller subtraktioner för att få till 0 de element som ligger under referensmatrisens huvudsakliga diagonal. För att få mer detaljerad information om hur du utför radminskning i en array, sök på webben.

Bildnamn Hitta inversidan av en 3x3 Matrix Steg 8

Fortsätt med beräkningarna tills du får en identitetsmatris på vänster sida av startmatrisen. Fortsätt genom att utföra de matematiska operationer som krävs för att minska startmatrisen tills vänster sida korrekt reflekterar identitetsmatrisen (bestående av 1 på huvuddiagonalen och 0 i alla andra positioner). När du når målet, på höger sida av den vertikala separationslinjen, kommer du att ha exakt den inverse av den ursprungliga matrisen.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 9

Notera den inversa matrisen. Kopiera alla element som visas på höger sida av den vertikala separationslinjen för startmatrisen inuti den inverse matrisen.

Metod 3

Använd en räknare för att hitta den inverterade matrisen

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 10

Välj en räknemodell som kan hantera arrays. De normala räknare som används för att utföra de 4 grundläggande matematiska operationerna hjälper inte dig med den här metoden. I det här fallet måste du använda en vetenskaplig räknare med avancerade grafiska funktioner, t.ex. Texas Instruments TI-83 eller TI-86, vilket kan minska din arbetsbelastning kraftigt.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3-matris steg 11

Ange värdena för elementen i matrisen inuti kalkylatorn. Om din räknare har den, tryck på knappen "Matrix" för att aktivera beräkningsläget relaterat till hanteringen av matriserna. Om du använder en räknare som produceras av Texas Instruments måste du trycka på tangentkombinationen "2^na" och "Matrix".

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 12

Öppna sekundärmenyn "Redigera". För att nå denna meny kan du behöva använda riktningsknapparna eller välja lämplig funktionsknappskombination beroende på tillverkarens modell och modell.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3-matris steg 13

Välj en av de tillgängliga matriserna. De flesta räknemaskiner är utformade för att hantera 3 till 10 matriser, märkta med bokstäverna i det engelska alfabetet från A till J. Normalt, för enkelhet väljer du att använda matrisen [A]. Efter valet trycker du på knappen "ange".

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3-matris steg 14

Ange måtten på den matris som ska bearbetas. I denna artikel fokuserar vi på 3x3 matriser. En vanlig grafikkalkylator kan emellertid hantera ännu mycket större matriser. Skriv in antalet linjer matrisen är gjord av, tryck sedan på -knappen "ange", ange sedan antalet kolumner och tryck på knappen igen "ange".

Bildnamn Hitta inversidan av en 3x3 Matrix steg 15

Ange de element som utgör matrisen. En matris visas på räknarens skärm. Om du tidigare har använt funktionen tidigare "Matrix" av enheten, visas den sista matrisen du arbetade med på skärmen. Markören är placerad på matrisens första element. Ange värdet på elementen i matrisen som du måste arbeta på, tryck sedan på -knappen "ange". Markören flyttar automatiskt till nästa objekt som ska skrivas och skriver över föregående värde om du redan har använt kalkylatorn för att arbeta med matriser tidigare.

Om du behöver ange ett negativt värde måste du trycka på det negativa tecknet ("-") och inte den som är relaterad till matematisk subtraktion.

För att flytta markören i matrisen kan du använda piltangenterna på enheten.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3 Matrix steg 16

Avsluta driftsläge "Matrix". När du har angett alla värden för de element som utgör matrisen, tryck på knappen "avsluta" (eller använd kombinationen av nycklar "2^na" och "avsluta"). På så sätt funktionaliteten "Matrix" kommer att stängas av och huvudskärmen för räknaren visas på skärmen.

Bildnamn Hitta inversidan av en 3x3 Matrix steg 17

För att hitta den inversa matrisen, tryck på lämplig kalkylatornyckel. Först måste du välja matrisen du vill arbeta med, så du måste aktivera läget igen "Matrix" och välj namnet på matrisen som du använde för att ange data för den du arbetar med (sannolikt kommer det att vara matrisen [A]). Tryck nu på tangenten för att beräkna den inverse matrisen,

{ displaystyle x ^ {- 1}}

. I vissa fall måste du trycka på knappen först för att aktivera den andra funktionen, "2^na", baserat på den beräkningsmodell som används. Ordalydelsen ska visas på enhetens skärm

{ displaystyle A ^ {- 1}}

. Tryck på knappen "ange", bör den inverse av den infogade matrisen visas på skärmen.

Använd inte knappen "^" av räknaren försöker skriva kommandot "A ^ -1". Det är fortfarande en enkel vetenskaplig räknare, som inte innehåller speciella kommandon än de som är programmerade och förinstallerade av tillverkaren.

Om ett felmeddelande visas efter att ha tryckt på inversionsnyckeln är det mycket troligt att den inmatade matrisen inte har någon invers. För att kontrollera detta måste du beräkna relevant determinant.

Bildtitel Hitta inversionen av en 3x3-matris steg 18

Konvertera den inverse matrisen som erhållits i rätt form. Kalkylatorn visar elementen i matrisen i form av decimaltal. I de flesta matematiska fält anses inte denna blankett "korrekt". Om så behövs måste du konvertera alla värden till bråknummer. I mycket sällsynta och mycket lyckliga fall kommer alla element i matrisen att visas i form av heltal.

Det är mycket troligt att räknaren har en funktion som automatiskt omvandlar decimaltal till fraktioner. Om du till exempel använder Texas Instruments TI-86-kalkylatorn, aktivera funktionen "Math", gå till menyn "Blandat", välj funktionen "Frac" och slutligen tryck på knappen "ange". Decimaltal kommer automatiskt att konverteras till fraktioner.

tips

Du kan också använda stegen som beskrivs i den här artikeln för att beräkna inversen av en array som innehåller tal, variabler, data av okänd natur eller algebraiska uttryck.
Utför beräkningar i skriftlig form, eftersom beräkning av invers av en 3x3-matris i åtanke är en extremt komplex operation.
De befintliga programmen kan direkt beräkna invers av mycket stora matriser med en dimension upp till 30x30 ..
Kontrollera alltid att de erhållna resultaten är korrekta, oavsett vilken metod som används. Att göra det multiplicera den ursprungliga matrisen för den inverse matrisen (M x M^-1). Kontrollera att följande uttryck är sant: M * M^-1 = M^-1 * M = I. Jag representerar identitetsmatrisen som består av element av värde lika med 1 längs huvuddiagonalen och element som är lika med 0 i alla andra positioner. Om du får ett annat resultat betyder det att du har gjort vissa beräkningsfel i vissa steg.

varningar

Kom ihåg att inte alla 3x3 matriser är inverterbara. Om determinanten av en matris av denna typ är 0, betyder det att det är dess inversa matrisen (observera att i formler som utför division med determinanten av matrisen i fråga och, som ni vet, i matematik Du kan inte dela ett tal för 0).

Dela på sociala nätverk:

Relaterade