Hur man får en transponerad matris

Den transponerade matrisen är ett exakt och exakt verktyg för att förstå och studera matrisens struktur. Vissa egenskaper hos matriser som du kanske redan vet, såsom symmetri och ortogonalitet, påverkar också sättet på vilket den transponerade matrisen erhålles. Den senare är användbar för olika ändamål, till exempel när det är nödvändigt att uttrycka en vektor i form av en matris eller för att göra produkten mellan två vektorer. Om du står inför ett problem med komplexa matriser, kommer konceptet med en konjugatomvandlad matris att vara till stor hjälp för att identifiera lösningen.

Del 1

Beräkna Transpose av en Array

Börja med att analysera vilken matris som helst. Du kan omvandla vilken matris som helst, oberoende av antalet rader eller kolumner som den är sammansatt av. De kvadratiska matriserna, som kännetecknas av att ha samma antal rader och kolumner, är de som transponeras med mer frekvens, så som ett exempel kommer vi att börja från en enkel kvadratisk matris:

Matrisen EN =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Den första kolumnen i den transponerade matrisen kommer att bestå av den första raden av exempelmatrisen A. Fortsätt sedan omskriva den första raden av originalmatrisen som första kolumnen i det relativa införlivandet:

Den transponerade matrisen av A anges med följande notation: A^T;

Den första kolumnen i matrisen A^T det kommer därför att vara lika med
1
2
3.

Applicera mekanismen som beskrivs i föregående steg för alla övriga återstående linjer. Med samma begrepp kommer vi att få fram att den andra raden i den ursprungliga matrisen blir den andra kolumnen i den transponerade matrisen. Fortsätt följa samma mönster tills alla rader i originalmatrisen har omvandlats till kolumner:

Matrisen EN^T =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

Beräknar införlivandet av en icke-kvadratisk matris. Mekanismen att använda är densamma för den kvadratiska matrisen, dvs den första raden av den ursprungliga matrisen blir första kolumnen i den transponerade en, den andra raden blir den andra kolumnen och så vidare. Här är ett färgexempel för att bättre förstå hur elementen i den ursprungliga matrisen och dess införlivas är organiserade:

Matrisen Z =
4 7 2 1
3 9 8 6

Matrisen Z^T =
4 3
7 9
2 8
1 6

Beskriv begreppet införlivande matematiskt. Det är en ganska enkel uppfattning, men det är bra att veta hur man uttrycker det matematiskt. För att använda den grundläggande notationen av matriser är det inte nödvändigt att känna till något specifikt teknisk jargong:

Om matrisen B är en matris m x n (där m anger antalet linjer e n antalet kolumner), matrisen B^T det kommer att bli en matris n x m (där n anger antalet linjer e m antalet kolumner).

För varje element b_xy (därx är linjenummer e y kolonnnumret) i matrisen B, matrisen B^T det kommer att ha en lika en b_yx (där y är linjenummer e x kolumnnumret).

Del 2

Särskilda fall

(M^T)^T = M. Denna notering indikerar helt enkelt att transponeringen av en transponerad matris resulterar i den ursprungliga matrisen. Detta är ett ganska intuitivt koncept med tanke på att den enda processen att följa är att omvandla raderna till kolumner. Om vi omvandlar linjerna i en matris transponerad till kolumner är det uppenbart att vi kommer att få exakt den matris som vi startade från.

Rotera en kvadratisk matris på 180 ° från huvuddiagonalen. När en kvadratisk matris studeras kommer det relativa införlivandet att vara den matris som erhålles "svarvning" den ursprungliga på 180 ° med avseende på huvuddiagonalen. Med andra ord, alla de element som utgör huvuddiagonalen, det vill säga de som går från position a₁₁ upp till nedre högra hörnet kommer att förbli oförändrat medan alla andra kommer att vändas med de som upptar motsatt position från diagonalen.

Om du inte kan se den mekanism som just beskrivits i ditt sinne börjar du med att rita en 4x4-kvadratmatris på en bit papper. Vik arket på sig själv efter matrisens huvudsakliga diagonal. Som du ser elementet a₁₄ den är överlagrad på elementet a₄₁. I den transponerade matrisen kommer dessa två element att inverteras såväl som alla andra element som är överlagda.

Transponera en symmetrisk matris. En matris kallas symmetrisk när elementen separerade av huvuddiagonalen är identiska. Med andra ord, med hjälp av det praktiska exemplet på det vikta arket på sig själv med avseende på huvuddiagonalen, skulle det vid en symmetrisk matris omedelbart inses att den ursprungliga matrisen exakt är identisk med den transposerade. Alla element som överlappar varandra och som ska vändas i läge visar sig vara samma. I verkligheten är det standardmetoden som används för att definiera en symmetrisk matris. Om matris A är lika med matris A^T, innebär att startmatrisen är symmetrisk.

Del 3

Transposed Matrix of a Complex Matrix

Låt oss börja med en komplex matris. En komplex matris består av reella och imaginära siffror. Även om den transponerade matrisen av en komplex matris kan erhållas genom att följa förfarandet beskrivet ovan, i de flesta av de reella fallen kommer det att vara nödvändigt att använda den konjugerade transponerade matrisen.

Matris C =
2+den 3-2den
0+den 5 + 0den

Beräkna den komplexa konjugatmatrisen. I detta fall ändras tecknet på de element som faller i uppsättningen av imaginära siffror utan att ändra den verkliga delen. Utför detta steg för alla element i den ursprungliga matrisen.

Den komplexa konjugatmatrisen av C =
2-den 3 + 2den
0-den 5-0den

Beräkna nu den transponerade matrisen av den som erhölls i föregående steg. Följ proceduren som beskrivs i föregående avsnitt i artikeln för att erhålla den transponerade matrisen. Matrisen som vi kommer att erhålla kommer att motsvara den konjugerade transponerade matrisen hos den ursprungliga.

Den konjugerade transponerade matrisen av C = C^H =
2-den 0-den
3 + 2den 5-0den

tips

Denna artikel använder notation A^T för att indikera den transponerade matrisen hos den ursprungliga matrisen A. Alternativt kan följande noteringar användas för att indikera samma begrepp: A `eller Ã.
I denna artikel anges den konjugerade matrisen av matris A med notationen A^H vilket också är det mest använda i linjär algebra. Kvantfysiker föredrar ofta att använda följande notation: A^†. Alternativt är det också möjligt att använda följande: A *, men det är bättre att undvika att använda denna symbologi eftersom vissa källor använder den för att indikera den komplexa konjugatmatrisen.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade