Hur man räknar kvadratroten med handen

Före ankomsten av datorer, hade elever och professorer att beräkna fyrkantens rötter för hand. Flera metoder har utvecklats för att hantera denna tunga process: vissa ger ungefärliga resultat, andra ger ett exakt värde. För att lära dig hur du hittar kvadratroten i ett nummer med enkla operationer läs vidare.

Metod 1

Använd faktorisering i första siffrorna

Dela ditt nummer i faktorer som är perfekta rutor. Denna metod använder faktorerna i ett tal för att hitta kvadratroten (beroende på typen av nummer kan du hitta ett exakt numeriskt svar eller en enkel approximation). Faktorerna i ett tal är några andra nummer som multipliceras med varandra, resulterar i själva numret. Till exempel kan man säga att faktorerna 8 är 2 och 4, eftersom 2 x 4 = 8. De perfekta rutorna är å andra sidan heltal, som produceras av andra heltal. Till exempel är 25, 36 och 49 perfekta rutor, eftersom de är 5 respektive², 6² och 7². Faktorerna för de perfekta rutorna är, som du kan gissa, de faktorer som i sin tur är perfekta rutor. För att börja hitta kvadratroten genom primär talfaktorisering kan du initialt försöka minska ditt nummer i sina primära faktorer som är kvadrater.

Låt oss ta ett exempel. Vi vill hitta kvadratroten på 400 för hand. Låt oss först försöka dela upp antalet i form av faktorer som är perfekta rutor. Eftersom 400 är en multipel av 100 vet vi att den är delbar med 25 - en perfekt kvadrat. En snabb division i åtanke tillåter oss att veta att 25 är i 400 16 gånger. Tillfälligt är även 16 en perfekt kvadrat. Således är de perfekta kvadratfaktorerna 400 25 och 16, eftersom 25 x 16 = 400.
Vi kunde skriva det som: Sqrt (400) = Sqrt (25 x 16)

Gör kvadratroten av dina faktorer som är perfekta rutor. Produktägandet av kvadratrotsarna anger det för vilket antal som helst till och b, Sqrt (a x b) = Sqrt (a) x Sqrt (b). Baserat på den här egenskapen kan vi härleda kvadratroten av våra faktorer som är perfekta rutor och multiplicera dem för att få vårt svar.

I vårt exempel måste vi göra fyrkantens rötter om 25 och 16. Läs nedan:

Sqrt (25 x 16)

Sqrt (25) x Sqrt (16)

5 x 4 = 20

Om ditt nummer inte är en perfekt faktor, reducera den till minsta villkor. I det verkliga livet, för det mesta, kommer siffrorna du hittar kvadratrotsar inte att vara bra tal "runda" med perfekt kvadratiska faktorer, till exempel 400. I dessa fall kan det vara omöjligt att hitta det exakta svaret som ett heltal. Istället, genom att hitta alla möjliga faktorer som är perfekta rutor, kan du hitta svaret i form av en mindre kvadratroten, enklare och lättare att hantera. För att göra detta måste du minska ditt nummer till en kombination av perfekta och icke-kvadratiska faktorer och förenkla sedan.

Låt oss ta kvadratroten på 147 som ett exempel. 147 är inte en produkt av två perfekta rutor, så vi kan inte hitta en exakt helhet, som vi tidigare har försökt. Det är emellertid produkten mellan en perfekt kvadrat och ett annat nummer - 49 och 3. Vi kan använda denna information för att skriva ditt svar på följande sätt i enklare termer:

Sqrt (147)

= Sqrt (49 x 3)

= Sqrt (49) x Sqrt (3)

= 7 x Sqrt (3)

Om det behövs gör en grov uppskattning. Med kvadratroten i form av mindre faktorer är det vanligtvis lätt att hitta en ungefärlig uppskattning av ett numeriskt värde genom att gissa värdena på de återstående kvadratroten och multiplicera dem. Ett sätt att hjälpa dig att göra denna uppskattning är att hitta perfekta rutor på båda sidor av ditt kvadratrotsnummer. Du kommer att veta att decimalvärdet av kvadratroten kommer att ligga mellan dessa två nummer: På så sätt kan du approximera ett värde mellan dem.

Låt oss gå tillbaka till vårt exempel. Som 2² = 4 och 1² = 1, vi vet att Sqrt (3) är mellan 1 och 2 - förmodligen närmare 2 än till 1. Antag att vi har 1,7. 7 x 1,7 = 11,9. Om vi testar med vår miniräknare kan vi se att vi är tillräckligt nära det korrekta svaret 12,13.

Detta fungerar också med större antal. Till exempel kan Sqrt (35) uppskattas mellan 5 och 6 (förmodligen mycket nära 6). 5² = 25 och 6² = 36. 35 står mellan 25 och 36, följaktligen måste kvadratroten vara mellan 5 och 6. Eftersom 35 är mindre än en enda siffra vid 36 kan vi med säkerhet säg att dess kvadratrots är bara mindre än 6. Genom att göra testet med räknaren hittar vi ca 5,92 - vi hade rätt.

Alternativt, som ett första steg, minska ditt nummer till dess lägsta villkor. Det är inte nödvändigt att hitta helt kvadratiska faktorer om du kan bestämma de primära faktorerna i ett tal (de faktorer som också är primtal). Skriv ditt nummer i form av dess primära faktorer. Sök sedan efter de möjliga kombinationerna av primtal bland dina faktorer. När du hittar två identiska primära faktorer, ta bort båda dessa siffror från kvadratroten och sätt bara ett av dessa nummer ur kvadratroten.

Till exempel finner vi kvadratroten på 45 med den här metoden. Vi vet att 45 = 9 x 5 och att 9 = 3 x 3. Vi kan då skriva vår fyrkant i form av faktorer: Sqrt (3 x 3 x 5). Ta bara bort 3 och lägg bara en ur kvadratroten: (3) Sqrt (5). Vid denna tidpunkt är det enkelt att göra en uppskattning.

Till exempel ett slutligt problem, låt oss försöka hitta kvadratroten på 88:

Sqrt (88)

= Sqrt (2 x 44)

= Sqrt (2 x 4 x 11)

= Sqrt (2 x 2 x 2 x 11). Vi har flera 2 i vår ruta. Eftersom 2 är ett primtal, kan vi ta bort ett par och lägga en av kvadratroten.

= Vår ruta på lägsta villkor är (2) Sqrt (2 x 11) o (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Vid denna tidpunkt kan vi uppskatta Sqrt (2) och Sqrt (11) för att hitta ett ungefärligt svar.

Metod 2

Hitta kvadratroten manuellt

Använd Division Method i kolumn

Separera siffrorna i ditt nummer i par. Den här metoden använder en process som liknar kolumnavdelningen för att hitta en exakt kvadratroten, siffran per siffra. Även om det inte är nödvändigt, kan du underlätta denna process om du organiserar din arbetsytan visuellt och arbetar med ditt stycke nummer. Först och främst ritar du en vertikal linje som skiljer ditt arbetsområde i två sektioner och drar sedan en kortare horisontell linje överst, högst upp till höger, för att dela upp den i en liten övre del i en större nedre del. Sedan, från decimalpunkten, dela siffrorna i par: till exempel blir 79.520.789.182.47897 "7 95 20 78 91 82, 47 89 70". Skriv det i övre vänstra hörnet.

Till exempel, låt oss försöka beräkna kvadratroten på 780.14. Rita två segment för att dela upp ditt arbetsutrymme som ovan och skriv "7 80,14" längst upp i vänstra rummet. Det kan hända att längst till vänster finns det bara ett tal såväl som om två finns. Du kommer att skriva ditt svar (kvadratroten på 780.14) i det övre högra utrymmet.

Hitta hela n större vars torg är mindre än eller lika med numret eller paret längst längst till vänster. Börja från den vänstra delen, som kommer att vara ett enda nummer eller ett par siffror. Hitta den största perfekta rutan som är mindre än den gruppen, och gör sedan kvadratroten av den här perfekta rutan. Detta nummer är n. Skriv n i utrymmet längst upp till vänster och skriv kvadraten av n i den nedre högra kvadranten.

I vårt exempel består den vänstra gruppen av singelnummer 7. Som vi vet att 2² = 4 <7 < 3² = 9 kan vi säga att n = 2, eftersom det är det största heltalet vars kvadrat är mindre än eller lika med 7. Skriv 2 i torget till höger högst upp. Detta är den första siffran i vårt svar. Skriv 4 (kvadraten av 2) i den nedre högra kvadranten. Detta nummer kommer att vara viktigt i nästa steg.

Subtrahera numret just beräknat från det vänstra paret. Vad gäller uppdelningen i kolumnen består följande steg i att subtrahera torget som bara hittats från den grupp som vi just analyserat. Skriv detta nummer under den första gruppen och subtrahera, skriv under ditt svar.

I vårt exempel skriver vi 4 under 7, då kommer vi att subtrahera. Detta kommer att ge oss som ett resultat 3.

Skriv ner följande tvåsiffriga grupp. Flytta nästa tvåsiffriga grupp längst ner, bredvid resultatet av subtraktionen som just hittats. Multiplicera sedan med två siffrorna i den övre högra kvadranten och sätt ner den till höger. Nära det nummer du just transkriberat, lägg till ""_x_ ="`.

I exemplet är nästa par "80": skriv "80" nära 3. Produkten av numret i övre högra hörnet för 2 är 4: skriv "4_ × _ =" i den nedre högra kvadranten.

Fyll i blankorna i rätt kvadrant. Du måste ange samma heltal. Detta nummer måste vara det största heltalet som tillåter multipliceringsresultatet i den högra kvadranten att vara mindre än eller lika med numret till vänster.

I exemplet, genom att ange 8, får du 48 multiplicerat med 8 lika med 384, vilket är större än 380. Så 8 är för stor. 7 istället är bra. Sätt 7 i multiplikationen och beräkna: 47 för 7 är lika med 329. Skriv 7 högst upp till höger: detta är den andra siffran i kvadratroten på 780.14.

Subtrahera numret som du just beräknat från numret till vänster. Fortsätt med divisionen i kolumnen. Sätt multiplikationsresultatet i den högra kvadranten och dra av det från numret till vänster och skriv nedan vad det gör.

I vårt fall, subtrahera 329 från 380, vilket ger 51.

Upprepa steg 4. Sänk ner den följande tvåsiffriga gruppen. När du möter kommatecket, rapportera du det också i ditt resultat i övre högra kvadranten. Multiplicera sedan numret i övre högra hörnet med två och skriv det bredvid gruppen ("_ x _"), som tidigare gjort.

I vårt exempel, eftersom det finns ett komma i 780.14, skriver du kommatecken i kvadratroten längst upp till höger. Sänk nästa par siffror till vänster, vilket är 14. Produkten av numret längst upp till höger (27) för 2 är 54: skriv "54_ × _ =" i den nedre högra kvadranten.

Upprepa steg 5 och 6. Hitta den största siffran att sätta i tomma utrymmen till höger som ger ett mindre resultat lika med numret till vänster. Lös sedan problemet.

I exemplet ger 549 för 9 4941, vilket är mindre än eller lika med vänster nummer (5114). Skriv 9 längst upp till höger och subtrahera multiplikationsresultatet från numret till vänster: 5114 minus 4941 ger 173.

Om du vill hitta andra nummer skriver du ett par 0 längst ned till vänster och upprepar steg 4, 5 och 6. Du kan fortsätta med det här förfarandet för att hitta cent, tusentals och så vidare. Fortsätt tills du når de önskade decimalerna.

Förstå proceduren

För att förstå hur denna metod fungerar, överväga det antal som du vill beräkna kvadratroten som ytan S på en kvadrat. Det följer att det du beräknar är längden L på sidan av den kvadraten. Vill du hitta numret L, vars kvadrat L² = S. Hitta kvadratroten av S, hitta L-sidan av torget.

Ange variablerna för varje siffra i ditt svar. Tilldela variabel A som den första siffran i L (kvadratroten vi försöker beräkna). B kommer att vara den andra siffran, C den tredje och så vidare.

Ange variablerna för varje grupp av ditt startnummer. Tilldela variabeln S_EN till de första siffrorna i S (ditt startvärde), S_B till det andra paret siffror etc.

Som vid beräkningen av divisionerna räknas en gång i taget, så vid beräkningen av kvadratroten ser man ett par figurer i taget (vilket är en siffra vid en kvadratrots tid).

Tänk på det största antalet vars kvadrat är mindre än S_EN. Den första siffran A i vårt svar är det största heltalet vars kvadrat inte överstiger S_EN (dvs sådan att A2 ≤ S_EN< (A + 1) ²). I vårt exempel, S_EN = 7 och 2 ² ≤ 7 < 3, så A = 2.

Observera att, som vill dela 88.962 genom 7, skulle det första steget vara liknande: man betänker den första siffran 88 962 (8), och skulle söka den största siffran, multiplicerad med 7, är lika med eller mindre än 8. Detta innebär att d 7 × d ≤ 8 < 7 × (d + 1). d skulle därför vara 1.

Visa torget som du beräknar området för. Repliken, kvadratroten ur startnumret, är L, som beskriver längden på den sida av en kvadratisk yta S (din ursprungliga antalet stänger parentes. Värdena A, B och C representerar siffrorna i numret L. Ett annat sätt att säga att det är för ett tvåsiffrigt resultat, 10A + B = L, medan, för ett trecifret resultat, 100A + 10B + C = L och så vidare.

I vårt exempel, (10A + B) ² = L² = S = 100A2 + 2x10AxB + B². Kom ihåg att 10A + B representerar vårt svar L med B i stället för enheterna och A av tiotalerna. Till exempel, med A = 1 och B = 2, är 10A + B helt enkelt numret 12. (10A + B) ² det är området för hela torget, medan 100A² det är området på den stora torget, B ^ Det är området på den minsta torget och 10AxB är arean av var och en av de två återstående rektanglarna. Fortsatt med detta långa och komplexa förfarande finner vi området på hela torget och lägger till områdena av rutorna och rektanglarna som komponerar den.

A2 från S subtraheras_EN. För att överväga faktorn 100 sänks ett par siffror från S (S_B): "S_ENS_B" Det måste vara det totala området på torget och 100A2 subtraheras från det (området på det största torget). Det som återstår är numret N1 som erhållits till vänster i steg 4 (380 i exemplet). Det talet är lika med 2 × 10A × B + B² (arean av de två rektanglarna läggs till det mindre torget).

Beräkna N1 = 2 × 10A × B + B², även skrivet som N1 = (2 × 10A + B) × B. Varit N1 (= 380) och A (= 2), och vill hitta B. I ekvationen ovan, B förmodligen inte kommer att vara ett heltal, så att du hittar det största heltal B så att (2 x 10A + B) × B ≤ N1 - eftersom B + 1 är för stor, då kommer du att ha: N1 < (2x10A + (B + 1)) × (B + 1).

För att lösa, multiplicera A med 2, flytta den till decimaler (vilket skulle vara lika med att multiplicera med 10), sätt B i enheternas position och multiplicera det numret med B. Det numret är (2 × 10A + B) × B, vilket är exakt detsamma som att skriva "N_ × _ =" (Med N = 2 x A) i kvadranten längst ned till höger i steg 4. I steg 5, letar efter det största heltalet som, ersattes i multiplikation, diameter (2 x 10A + B) x B ≤ N1.

Subtrahera området (2 x 10A + B) x B från den totala ytan (till vänster, i steg 6), som motsvarar det område S- (10A + B) ², ännu inte beaktas (och som kommer att tjäna för Beräkna nästa siffra på samma sätt).

För att beräkna följande C-figur, upprepa proceduren: sänka nästa par siffror från S (S_C) För att erhålla N2 till vänster och leta efter det största antalet C, så att (2 x 10 x (10A + B) + C) x C ≤ N2 (vilket är hur man skriver produkten för två av tvåsiffrigt nummer "En B." följt av "_ × _ =" och hitta det största numret som kan infogas i multiplikationen).

tips

Flytta kommatecken av två till ett decimaltal (faktor 100) motsvarar att komma kommandot med en till kvadratroten (faktor 10).
I exemplet kan 1,73 betraktas som en "resten": 780,14 = 27,92 + 1,73.
Denna metod fungerar med alla typer av bas, inte bara decimaltalet.
Du kan representera dina beräkningar på det bekvämaste sättet för dig. Vissa skriver resultatet ovanför startnumret.
För en alternativ metod använder formeln: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Till exempel, för att beräkna kvadratroten av 780,14, heltalet vars kvadrat är närmare 780,14 är 28, från vilken z = 780,14, x = 28 och y = -3,86. Koppla in värdena och beräkning för x + y / (2x) erhålles (i lägsta termer) 78207/2800, eller approximerande, 27,931 (1) - nästa sikt, eller 4374188/156607, som approximerar, 27,930986 (5). Varje term lägger till ungefär 3 decimaler av precision till föregående.

varningar

Kom ihåg att dela upp numren som utgör numret i grupper med två siffror, från början. Om du delar 79.520.789.182.47897 in "79 52 07 89 18 2,4 78 97" det kommer inte att vara till nytta för dig.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade