Hur man löser kvadratrotsoperationer

Om skrämmande symbol för kvadratroten kan vara illamående för många studenter, verksamheten med kvadratrötter är inte så svårt att lösa eftersom de kan verka vid första anblicken. Verksamheten med enkla kvadratrötter kan ofta lätt lösas precis som multiplikation och grundläggande divisioner. Kvadratrötter mer komplexa, men de kan kräva lite `mer arbete, men med rätt strategi kan också enkelt tas bort. Börja i dag att öva med kvadratrötter för att lära sig den nya kapacitet matematik radikal!

Del 1

Förstå kvadraterna och kvadratrotsarna

Kvadraten av ett tal är resultatet av dess multiplikation av sig själv. För att förstå fyrkantens rötter är det oftast bäst att börja med rutorna. Kvadrater är enkla att förstå: att räkna ett kvadratiskt nummer betyder bara att multiplicera det själv. Till exempel är 3 kvadrater densamma som 3 × 3 = 9, medan 9 kvadrerar är lika med 9 × 9 = 81. Kvadrater skrivs som indikerar en liten "2" längst upp till höger på numret multiplicerat, så här: 3², 9², 100², och så vidare.

Försök att pressa ett annat nummer på egen hand för att förstå om du har bäst assimilerat konceptet. Kom ihåg att höjning av ett fyrkantigt nummer betyder helt enkelt att multiplicera det själv. Du kan också göra det med negativa tal, resultatet blir alltid positivt. Till exempel: -8² = -8 × -8 = 64.

För kvadratiska rötter, hitta"omvänd" av en fyrkant. Kvadratrotsymbolen (&# 8730-, även kallad "radikal") representerar i grunden operationen "motsatt" till symbolens ² . När du ser en radikal måste du fråga dig själv: "vilket nummer kan multipliceras med sig själv för att ge antalet närvarande under roten?" Om du till exempel ser √ (9) måste du hitta numret som kan kvadras för att få 9. I det här fallet är svaret tre, eftersom 3² = 9.

Som ett annat exempel, låt oss försöka hitta kvadratroten på 25 (√ (25)), det vill säga numret som höjdes till kvadratdia 25. Sedan 5² = 5 × 5 = 25, vi kan säga att √ (25) = 5.

Du kan också tänka på denna process som "riva upp" en fyrkant. Om du till exempel vill hitta √ (64), kvadratroten på 64, börjar du tänka 64 som 8². Som en kvadratrots symbol, i huvudsak, "eliminerar" det med en kvadrat kan vi säga att √ (64) = √ (8²) = 8.

Känn skillnaden mellan perfekta och ofullkomliga torg. Hittills har lösningarna på våra kvadratrotsoperationer varit trevliga rena tal. Det är inte alltid fallet, faktiskt kan kvadratroten ibland ha lösningar som består av decimaler ganska långa och obekväma. Nummer vars kvadratiska rötter är heltal (med andra ord, utan fraktioner eller decimaler) kallas perfekta rutor. Alla exempel som anges ovan (9, 25 och 64) är perfekta rutor eftersom när du extraherar sina kvadratrotsar får du heltalsnummer (3, 5 och 8).

Däremot resulterar siffrorna som en gång extraherade kvadratroten inte att heltal heter ofullkomliga torg. Genom att extrahera kvadratroten av ett av dessa tal erhålls vanligtvis en fraktion eller ett decimaltal. Ibland kan de aktuella decimalerna vara ganska komplicerade. Till exempel √ (13) = 3,605551275464 ...

Minns de första 10-12 perfekta rutorna. Som du antagligen märkte kan extrahering av kvadratroten av de perfekta rutorna vara ganska lätt! Eftersom lösningen av dessa problem är väldigt enkel är det värt att ta sig tid att memorera fyrkantens rötter av de första tio perfekta rutorna. Du kommer att ha mycket att göra med dessa siffror, så att du tar tid att lära dig dem med hjärtat kommer du att spara mycket längre. De första 12 perfekta rutorna är:

1² = 1 × 1 = 1

2² = 2 × 2 = 4

3² = 3 × 3 = 9

4² = 4 × 4 = 16

5² = 5 × 5 = 25

6² = 6 × 6 = 36

7² = 7 × 7 = 49

8² = 8 × 8 = 64

9² = 9 × 9 = 81

10² = 10 × 10 = 100

11² = 11 × 11 = 121

12² = 12 × 12 = 144

Förenkla kvadratroten genom att ta bort de perfekta rutorna när det är möjligt. Hitta kvadratrötter av ofullständig kvadrat kan ibland vara ganska komplicerat, särskilt om du inte använder en miniräknare (i den nedre delen hittar du några knep för att göra processen enklare). Det är dock ofta möjligt att förenkla siffrorna under roten och göra dem lättare att göra beräkningarna. För att göra detta, du helt enkelt måste räkna antalet under de bakomliggande faktorerna, kvadratroten ur varje faktor som är en perfekt kvadrat och skriva lösningen ur den radikala. Det är definitivt enklare än det låter: läs vidare för att ta reda på mer!

Låt oss säga att vi vill hitta kvadratroten på 900. Vid första ögonkastet verkar det ganska svårt! Men det blir inte så komplicerat om vi bryter 900 in i faktorer. den faktorer de är de siffror som kan multipliceras med varandra för att bilda ett annat nummer. Till exempel, eftersom du kan få 6 genom att multiplicera 1 × 6 och 2 × 3, är faktorerna 6, 1, 2, 3 och 6.

I stället för att göra beräkningar med nummer 900, vilket är ganska komplicerat, skriver det som en 9 x 100. Nu som 9, som är en perfekt kvadrat, är åtskilda av 100, kan vi utvinna sin kvadratroten individuellt. √ (9 x 100) = √ (9) x √ (100) = 3 × √ (100). Med andra ord, √ (900) = 3√ (100).

Vi kan sålunda ytterligare förenkla det genom att bryta 100 faktorer i 25 och 4 √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 x 2 = 10. Så kan vi säga att √ (900) = 3 (10) = 30.

Använd imaginära tal för kvadratroten av negativa tal. Tänk på det: vilket nummer multipliceras med sig själv ger -16? Varken 4 eller -4: höja dem till torget får du i båda fallen det positiva numret 16. Ge du upp? Faktum är att det inte finns något sätt att skriva kvadratroten på -16 (och något annat negativt tal) med reella tal. I dessa fall måste du tillgripa imaginära nummer (vanligtvis i form av bokstäver eller symboler) för att ersätta dem istället för kvadratroten av det negativa talet. Till exempel variabeln den det brukar användas för kvadratroten av -1. Som en allmän regel blir kvadratroten av ett negativt tal (eller kommer att inkludera) alltid ett imaginärt tal.

Observera att även om de imaginära tal inte kan representeras med de klassiska siffror kan ändå betraktas som reella tal i många avseenden. Till exempel kan de kvadratrötter av negativa tal höjas till torget för att få dessa samma negativa tal, precis som alla andra kvadratroten ur ett positivt tal. Till exempel, den² = -1.

Del 2

Använd Division Method i kolumn

Ordna kvadratroten som i en kolumnavdelning. Även om det kan ta ganska lång tid, tillåter den här metoden att kvadratroten av ofullkomliga ofullkomliga rutor löses utan att en räknare används. För att göra detta ska vi använda en upplösningsmetod (o algoritm) som är liknande, men inte exakt identisk, till delning i kolumnen Basic.

Börja med att skriva kvadratroten i samma form som en kolumnavdelning. Till exempel, låt oss säga att vi vill hitta kvadratroten på 6,45, vilket definitivt inte är en bekväm perfekt kvadrat. Skriv först den vanliga rotsymbolen (√) och siffran nedanför den. Gör sedan en rad under numret så att du kommer att hitta i en sorts liten "låda", som i en kolumnavdelning. När du är färdig ska du ha en symbol med lång svans "√" och en 6.45 nedan.
Skriv siffrorna ovanför roten så att du är säker på att lämna rummet.

Gruppera siffrorna i par. För att börja lösa problemet, gruppera parvis siffrorna under tecken på radikalen, från decimalpunkten. Det kommer att vara användbart att göra små tecken (t.ex. punkter, barer, kommatecken etc.) mellan de olika paren för att hålla reda på dem.

I vårt exempel kommer vi att dela upp 6.45 så här: 6-, 45-00. Observera närvaron av en siffra som "förskott" till vänster är det okej.

Hitta det största numret, vars kvadrat är mindre än eller lika med det första "grupp" av siffror. Börja från det första numret, det första paret till vänster. Välj det största antalet med en kvadrat som är mindre än eller lika med den kvadraten "grupp" av siffror. Om till exempel gruppen av siffror var 37, välj 6, eftersom 6² = 36 < 37 men 7² = 49 > 37. Skriv detta nummer över den första gruppen. Det är den första siffran i din lösning.

I vårt exempel består den första gruppen av 6-, 45-00 av 6. Det största antalet som, när kvadraten är mindre än eller lika med 6, är 2, sedan 2² = 4. Vi skriver en "2" över 6 närvarande under roten.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 10

Dubbeltal det nummer du just skrev, ta med det nedan och dra av det. Ta den första siffran i din lösning (numret du just hittat) och dubbel det. Skriv den under den första gruppen och dra av den för att hitta skillnaden. Ta med nästa par siffror bredvid resultatet. Slutligen skriv till vänster den sista siffran i den dubbla (av den första siffran) i lösningen och lämna ett mellanslag bredvid det.

I vårt exempel börjar vi med att ta dubbelen av 2, den första siffran i vår lösning. 2 × 2 = 4. Så vi kommer att subtrahera 4 från 6 (vår första "grupp"), vilket resulterade i 2. Senare kommer vi att komma under nästa grupp (45) för att få 245. Slutligen skriver vi 4 igen till vänster och lämnar ett litet utrymme att skriva så här: 4_.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 11

Fyll i det tomma utrymmet. Efteråt måste du lägga till en siffra på höger sida av det nummer du just skrev till vänster. Välj det största möjliga numret (multipliceras med det nya numret), men fortfarande mindre än eller lika med det antal du har "sänktes". Till exempel, om det nummer du har "sänktes" det är 1700 och numret till vänster är 40_, du måste fylla i det tomma utrymmet med "4" eftersom 404 × 4 = 1616 < 1700, medan 405 × 5 = 2025. Numret som du hittar på denna punkt i processen kommer att vara den andra siffran i din lösning, och du kan sedan lägga till den ovanför rotmärket.

I vårt exempel, vi måste hitta det nummer som fyller tomrummet av 4_ × _ ge största möjliga resultat - men fortfarande mindre än eller lika med 245. I detta fall kommer svaret bli 5. 45 × 5 = 225, medan 46 × 6 = 276.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 12

Fortsätt med siffrorna "i de tomma utrymmena" för resultatet. Fortsätt att utföra den här modifierade kolumndelningsmetoden tills du börjar få nollor genom att subtrahera siffror "bragt under"eller tills du når den nödvändiga approximationsnivån. När du är klar kommer de siffror du använde varje steg att fylla i blankorna (plus det första numret någonsin) att bilda siffrorna i din lösning.

Fortsätt i vårt exempel subtraherar vi 225 från 245 för att få 20. Sedan tar vi ner de följande siffrorna 00, för att göra 2000. Dubbla siffrorna ovanför rottefältet får vi 25 × 2 = 50. Att lösa det vita utrymmet 50_ × _ = /< 2000 får vi 3. Vid denna tidpunkt kommer vi att ha "253" ovanför rotmärket. Upprepa samma procedur igen, vi får 9 som nästa siffra.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 13

Flytta över decimalpunkten från din "utdelning" av avgång. För att slutföra din lösning måste du sätta decimaltalet på rätt ställe. Lyckligtvis är det enkelt: allt du behöver göra är att matcha det med decimalpunkten för startnummeret. Till exempel, om talet under rotte tecknet är 49,8, måste du helt enkelt flytta kommatecken mellan de två siffrorna över 9 och 8.

I vårt exempel är siffran under roten tecken 6,45, så vi kommer helt enkelt att flytta komman ovan genom att placera den mellan siffrorna 2 och 5 i vårt resultat, att erhålla 2539.

Del 3

Utför snabbt en ungefärlig uppskattning av ofullkomliga rutor

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 14

Hitta de ofullkomliga rutorna genom att göra ungefärliga uppskattningar. När du väl har memorerat de perfekta rutorna blir det mycket enklare att hitta ruta på de ofullkomliga rutorna. Eftersom du redan vet mer än ett dussin perfekta rutor kan du hitta något tal mellan två av dessa "utjämning" mer och mer en grov uppskattning mellan dessa värden. Till att börja med, hitta de två perfekta rutorna mellan vilka numret är beläget. Senare bestämmer vilket av dessa två nummer som är närmare.

Låt oss säga att vi måste hitta kvadratroten på 40. Eftersom vi har memorerat de perfekta rutorna kan vi säga att 40 är mellan 6² och 7², Det är mellan 36 och 49. Eftersom 40 är större än 6², dess ruta kommer att vara större än 6- och eftersom den är mindre än 7², Dessutom kommer kvadratroten att vara mindre än 7. Dessutom är 40 lite närmare 36 än till 49, så resultatet kommer troligtvis att vara närmare 6 än till 7. I efterföljande steg kommer vi ytterligare att förfina noggrannheten i vår lösning.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 15

Approximates kvadratroten till ett decimaltal. När du väl har hittat två perfekta rutor, bland vilka numret är placerat, blir det en enkel fråga om att öka din approximation tills du når en lösning som uppfyller dig ju mer du kommer att driva dig in i detalj, ju mer exakt lösningen kommer att vara. Till att börja med, välj ett decimaltal "av värdet av tiondelarna" För lösningen behöver det inte vara exakt, men det sparar mycket tid att använda sunt förnuft för att välja den som kommer närmast det rätta resultatet.

I vårt exempelproblem kan en rimlig approximation för kvadratroten av 40 vara 6,4, eftersom vi vet från ovanstående procedur att lösningen antagligen är närmare 6 än 7.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 16

Multiplicera det ungefärliga numret i sig. Därefter kvadrera din uppskattning. Om du inte är så lycklig får du inte startnummeret direkt: du kommer att vara något över eller under den. Om din lösning är något högre än den som ges, försök igen med en något lägre approximation (och vice versa om lösningen är mindre, prova en högre uppskattning).

Multiplicera 6,4 för sig för att få 6,4 × 6,4 = 40,96, vilket är något större än det startnummer som vi vill hitta rotten.

Då, då vi har gått bortom det önskade resultatet, kommer vi att multiplicera i sig numret av en tiondel lägre än vår överskattade uppskattning, vilket ger 6,3 × 6,3 = 39,69, vilken denna gång är något lägre än startnummeret. Det betyder att kvadratroten på 40 är någonstans mellan 6,3 och 6,4. Dessutom är 39.69 närmare 40 än 40,96, vi vet att kvadratroten kommer att vara närmare 6.3 än till 6.4.

Bildnamn Lösa kvadratrotsproblem Steg 17

Tillnärmningsprocessen fortsätter efter behov. Om du är nöjd med de lösningar som hittades kan du helt enkelt välja och använda en som en grov uppskattning. Om du istället vill få en mer exakt lösning är allt du behöver göra att välja en uppskattning av beloppet "av cent" Det ger denna approximation mellan de två första. Fortsätt med den här metoden kan du få tre decimaler för din lösning, och till och med fyra, fem och så vidare beror det bara på hur mycket detaljer du vill anlända.

I vårt exempel tar vi 6,33 som en uppskattning med två decimaler. Vi multiplicerar 6.33 för sig själv att erhålla 6.33 × 6.33 = 40.0689. Eftersom resultatet är något högre än vårt startnummer, försöker vi ett något mindre antal, till exempel 6.32-6.32 × 6.32 = 39.9424. Detta resultat är något lägre än vårt startnummer, så vi vet nu att den exakta roten ligger mellan 6,33 och 6,32. Om vi vill fortsätta i detalj borde vi helt enkelt fortsätta använda samma metod för att få en mer exakt lösning.

tips

För att hitta snabba lösningar, använd en kalkylator. De flesta moderna räknare kan hitta roten direkt. Vanligtvis är allt du behöver göra bara att skriva in numret och tryck på kvadratrotsymbolen. För att hitta kvadratroten på 841, bör du bara trycka: 8, 4, 1, (√) och få som svar 39

Dela på sociala nätverk:

Relaterade