Hur man förstår Infinitesimal Calculus

Den oändliga räkningen är en gren av matematik som huvudsakligen studerar begreppen gräns, funktion, derivat, integral och oändlig serie. Denna gren utgör den viktigaste delen av matematiken och ligger till grund för många ekvationer som beskriver fysiska och mekaniska fenomen. För att förstå den oändliga beräkningen borde du ta en universitetsbana, men den här artikeln är en bra start och hjälper dig att riva upp de viktiga begreppen och tekniska steg.

Del 1

Granska grunderna

Vet att den oändliga beräkningen är studien av hur saker förändras. Det är en gren av matematik som observerar siffror och linjer, som vanligtvis hör till den verkliga världen, och försöker beskriva hur de förändras. Även om det vid första anblicken kan verka som en analys med liten användning är den oändliga kalcium istället en av de mest tillämpade filialerna i matematik i världen. Tänk dig att ha de verktyg du behöver för att förstå hur snabbt din affärsvolym ökar när som helst, eller som låter dig kartlägga ett rymdskepp och förstå hur snabbt det förbrukar bränsle. Vid denna tidpunkt är det uppenbart att det är ett grundläggande medel inom teknik, ekonomi, statistik, kemi och fysik och det har gjort det möjligt att förverkliga många uppfinningar och upptäckter av den verkliga världen.

Kom ihåg att funktioner är förhållanden mellan två siffror och används för att beskriva numeriska förhållanden i den verkliga världen. Dessa är de regler som respekteras av korrelerade tal och matematikerna representerar dem med grafer. I en funktion leder varje ingiven data till ett resultat. Till exempel i funktionen y = 2x + 4, för varje värde som tilldelats "x" motsvarar ett nytt värde av "y". Om x = 2, då y = 8, om x = 10, då y = 24. Alla studier av den infinitesimala kalkylen fokuserar på funktioner för att förstå hur de ändras och sedan tillämpa dem på verkliga relationer.

Funktioner skrivs ofta med respekt för denna typ av notation: f (x) = x + 3. Detta innebär att funktionen, f (x), förväntar sig att lägga till värdet 3 till varje värde av x. Om du vill tilldela värdet 2 till variabeln x måste du skriva: f (2) = 2 + 3 som är f (2) = 5.

Funktioner kan dock beskriva mycket mer komplexa relationer. NASA har till exempel utvecklat funktioner som gör det möjligt att förstå hastigheten på en raket baserat på mängden bränsle som förbrukas, vindmotståndet och rymdfarkostens vikt.

Tänk på begreppet oändlighet. Du kan associera den med kontinuerlig och oändlig upprepning av en process. Detta är inte ett specifikt ställe (du kan inte nå oändligheten), utan snarare beteendet hos ett tal eller en ekvation som beräknas kontinuerligt. Detta är en mycket viktig faktor för att studera förändringar: du kanske vill veta hastigheten på din bil vid en given tidpunkt, men innebär att du vill veta hastigheten på en given andra, av en millisekund eller en nanosekund? Du kan beräkna bilens hastighet för oändligt mindre och kortare tidsintervaller för att vara extremt exakt. Det här är det ögonblick då den oändliga beräkningen hjälper dig.

Förstå begreppet gräns. Gränsen informerar dig om vad som händer när en process ligger nära oändligheten. Ta till exempel numret 1 och dela det med 2. Fortsätt sedan dela resultatet med 2. Nummer 1 blir 1/2 först då 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 och så vidare. Med varje pass är kvoten alltid mindre "närmar" vid noll. Men hur kommer det att sluta? Hur många gånger måste du dela 1 till 2 för att få 0? I den oändliga beräkningen, i stället för att svara på denna fråga, ålägger du en gräns. I det här exemplet är gränsen lim = 0.

Gränserna visas enkelt på ett diagram - till exempel finns det punkter som diagrammet är mycket nära utan att någonsin röra dem?

Gränser kan vara ett tal, noll eller oändlighet. Om du till exempel fortsätter med summan 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... oändligt kommer ditt slutliga nummer att vara oändligt stort. I detta fall skulle gränsen vara oändlig.

Granska de grundläggande begreppen algebra, trigonometri och enkel matematisk analys. Den oändliga beräkningen baseras på all matematisk kunskap du har lärt dig under din kurs. Om du känner grunden perfekt, blir det mycket lättare att lära och förstå denna gren. Här är några ämnen du bör granska:

algebra. Förstå de olika processerna och lär sig att lösa ekvationer och system av ekvationer med flera variabler. Granska de grundläggande begreppen i uppsättningarna och plotta ekvationerna.

Geometri. Denna gren av matematik studier geometriska former. Granska egenskaper och egenskaper hos trianglar, rektanglar och cirklar - studieformler för beräkning av omkretsen och området. Se till att du vet vinklar, linjer och referenssystem.

trigonometri. Denna gren av matematik handlar om egenskaperna hos omkretsar och rektangel trianglar. Lär dig att använda trigonometriska identiteter, manipulera inversa grafer, funktioner och trigonometriska funktioner.

Köp en grafikkalkylator. Det är väldigt svårt att förstå den oändliga beräkningen utan att se vad du gör. Grafikräknare sätter funktioner i grafer och hjälper dig att bättre förstå det arbete du gör. Du kan ofta ställa in gränser på skärmen och beräkna derivat och funktioner automatiskt.

Många smartphones och surfplattor levereras med billiga men effektiva applikationer om du inte vill köpa en specifik räknare.

Del 2

Förstå derivat

Lär dig hur den oändliga beräkningen används för att studera "omedelbar variation". Huvudsyftet med denna gren av matematiken är att förstå varför något förändras i ett exakt ögonblick. Till exempel kan du förstå inte bara bilens hastighet, men du kan också analysera hastighetsvariationen vid vilken tidpunkt som helst. Detta är ett av de enklaste exemplen på att använda infinitesimal kalkyl - dock är det extremt viktigt: föreställ dig hur användbart det är att veta dessa data om ett rymdfarkoster som försöker nå månen!

Att hitta omedelbar variation är en process som kallas härledning. Differentialkalkyl är den första av de två huvudsätena som utgör den ultimata räkningen.

Använd derivat för att förstå hur en funktion ändras vid en viss tidpunkt. Termen "härledd" det kan vara lite konstigt och utlösa viss ångest. Konceptet som ligger till grund är emellertid inte svårt att assimilera - i praktiken betyder det "hur fort en data ändras". Det vanligaste derivatet vi hanterar varje dag är i förhållande till hastigheten. Du ringer nog inte henne "derivat av hastighet" men "acceleration".

Acceleration är ett derivat som berättar hur snabbt ett objekt ökar eller minskar dess hastighet, det är hur det ändrar sin hastighet.

Lär dig att derivatet också representerar lutningen (vinkelkoefficienten) mellan två punkter på grafen. Detta är en av de viktigaste resultaten i den oändliga kalibreringen. Derivatet mellan två punkter motsvarar lutningen av linjen som förenar dem. Tänk på en gemensam rad, som den som identifieras av y = 3x-funktionen. I detta fall är vinkelkoefficienten lika med 3, vilket betyder att när du ändrar x varierar y 3 gånger. Lutningen motsvarar derivatet: en vinkelkoefficient som motsvarar 3 betyder att linjen ändras 3 gånger med varje variation av x. När x = 2, y = 6- när x = 3, y = 9.

Vinkelkoefficienten för en linje är lika med variation av y dividerad med variationen av x.

Ju större sluttningen och mer "vertikal" det är den raka linjen. I allmänhet kan man säga att de raka linjerna med en hög vinkelfaktor varierar "snabbare".

Granska hur du hittar en vinkelkoefficient för en rad om du inte kommer ihåg det.

Kom ihåg att du kan hitta lutningen jämn av en kurva. När det gäller raka linjer är beräkningen av lutningen ganska enkel: hur mycket förändras y-värdet med förändringen av x? I ekvationer med krökta linjer blir beräkningen mer komplex, till exempel med y = x². Du kan fortfarande hitta lutningen mellan några två punkter, du behöver bara rita linjen som förenar dem och beräkna vinkelkoefficienten.

Till exempel i y = x², du kan välja två poäng och beräkna lutningen. Tänk på punkter med koordinaterna (1-1) och (2-4). I detta fall är vinkelkoefficienten lika med (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Det betyder att variationskvoten mellan x = 1 och x = 2 är 2.

För att hitta en ännu mer exakt sluttning, ta punkterna närmare varandra. Ju mindre avståndet som skiljer dem är ju mer exakt värdet kommer att vara. Antag att du vill veta hur snabbt din bil accelererar så fort du trycker på gaspedalen. Du vill inte veta hastighetsvariationen som har skett mellan huset och snabbköpet, men du vill veta hur mycket hastigheten har förändrats omedelbart efter ditt tryck på gaspedalen. Ju mer mätningen närmar sig ögonblicket du vill överväga och ju mer exakt det blir.

Forskare studerar till exempel hur snabbt vissa djur släcker i ett försök att rädda dem. Djur har dock en högre dödlighet än på sommaren - så att man studerar den genomsnittliga hastigheten vid vilken exemplar försvinner under året är inte en användbar data - forskare behöver veta dödligheten inom ett område kortare - till exempel från 1 juli till 1 augusti.

Hitta oändligt små linjer för att hitta "omedelbar variation", eller derivat. Detta är den fas i vilken den oändliga beräkningen kan väcka lite förvirring, men i sanning är det resultatet av två enkla fakta. Först du vet att vinkelkoefficienten för en linje är lika med den hastighet med vilken den ändras. För det andra vet du att de två punkterna som anses vara desto närmare och ju mer exakta uppgifterna kommer att vara. Men hur är det möjligt att hitta höjden vid en punkt om det här är förhållandet mellan variationerna av två punkter? Den oändliga beräkningen är ditt svar: välj två punkter oändligt nära varandra.

Tänk tillbaka till exemplet där du försökte dela 1 till 2 oändligt genom att få: 1/2, 1/4, 1/8 och så vidare. I slutet kommer du att få mycket nära noll och lösningen kan vara "praktiskt taget noll". I det här fallet är de två punkterna så nära varandra att de är "i praktiken oskiljbar". Det här är derivatets natur.

Lär dig att beräkna de olika typerna av derivat. Det finns många tekniker som låter dig hitta derivat och beror på typen av ekvation. Men de flesta av dessa borde inte vara ett problem om du kommer ihåg de grundläggande principerna för derivaten som beskrivs ovan. Kom ihåg att varje derivat är ett sätt att hitta lutningen på en linje "oändligt liten". Nu när du känner till teorin är det mycket arbete som hittar lösningarna.

Hitta derivaten av ekvationerna för att förutse variationen vid varje punkt. Användningen av derivat för detta ändamål är mycket användbar, men skönheten i den oändliga beräkningen ligger i det faktum att du kan skapa nya modeller för varje funktion. Derivatet av y = x², till exempel är det Y^l = 2x. Det betyder att du kan hitta derivatet för varje punkt i grafen y = x² infoga den i derivatekvationen. Vid punkten med koordinater (2-4), där x = 2 och y = 4, är derivatet 4, eftersom Y^l = 2 * (2).

Avledda funktioner anges i allmänhet med en apex, till exempel är derivatet av ekvationen Y skrivet som Y^l.

Om du har svårigheter att få tag i konceptet, försök att komma ihåg exempel från det verkliga livet. Den enklaste du upptäcker av hastigheten, som erbjuder många olika derivat som du stöter på varje dag. Kom ihåg det derivatet är måttet på hur snabbt något varierar. Tänk på det enkla experimentet med en boll som rullar på ett bord och du måste beräkna hur mycket du flyttar och hur snabbt. Föreställ dig nu att marmorn ritar en linje på ett diagram, du kan använda derivaten för att mäta den momentana variationen vid varje punkt på linjen.

Hur snabbt går marmorbytet? Vad är variationsgraden, det vill säga derivatet, av dess rörelse? I det här fallet är derivatet det vi kallar "hastighet".

Rul marmorn i ett lutande plan och observera hur snabbt det förvärvar fart. I vilket fall representerar derivatet? Vi kan säga att vi mäter "acceleration" av marmor.

Rulla bollen upp och ner på ett spår som liknar en berg-och dalbana. Hur snabbt ökar din nedfartshastighet och hur snabbt minskar den uppförsbacke? Vad är dess hastighet när det är precis halvvägs upp den första stigningen? Detta är hastigheten för momentan eller derivatvariation av marmor vid en viss punkt.

Del 3

Förstå integreringar

Lär dig att använda infinitesimal kalkyl för att hitta området och volymerna av komplexa former. Tack vare den här matematikgränsen kan du mäta former som annars skulle vara för komplicerade. Försök till exempel att överväga hur mycket vatten det finns i en sjö med en långsträckt och svag form - det är praktiskt taget omöjligt att mäta varje liter vatten separat eller med linjal. Den oändliga beräkningen hjälper dig, eftersom det gör att du kan beräkna hur bankens profil ändras och utnyttja denna information för att uppnå värdet av den mängd vatten som finns.

Att göra geografiska modeller och studera volymen definieras "integration" eller kvadratur. Detta är den andra stora uppsättningen infinitesimal kalkyl.

Lär dig hur du hittar området under ett diagram. Integraller gör att du kan beräkna ytan under varje linje och hitta området av konstiga och oregelbundna former. Tänk på ekvationen y = x² vars diagram ser ut som en stor "U". Till exempel kanske du vill hitta ytan på ytan som ligger under U och du kan använda integrationen för denna beräkning. Om allt detta verkar värdelöst, försök att utvärdera tillverkningsindustrin: du kan skapa en funktion vars grafik liknar en ny bit som du måste producera och känner till området gör att du kan beställa rätt mängd råvaror.

Vet att du måste välja ett område för att fortsätta med beräkningen av integralet. Du kan inte integrera en hel funktion. Till exempel är y = x en oändlig diagonal linje och du kan inte integrera den helt eftersom den faktiskt är oändlig. När du integrerar funktioner måste du skapa ett område, t.ex. det mellan punkterna x = 2 och x = 5.

Granska hur området av en rektangel beräknas. Föreställ dig att du har en horisontell linje på grafen, som y = 4. För att hitta området nedan måste du välja rektangelens yta mellan y = 0 och y = 4. Området i den bild du har definierat är enkel att beräkna, men denna process är inte tillämplig med krökta linjer som inte lätt kan omvandlas till rektanglar.

Integration består av att lägga till området av många små rektanglar för att hitta det totala området. Om du förstorar ett krökt segment, visas det som en platt linje. Detta händer också i vardagen, till exempel kan du inte se jordens krökning eftersom du är för nära ytan. Integrationen skapar en oändlig serie små rektanglar under den krökta linjen och är så små att sidan "krökt" det kan betraktas som platt, så att man enkelt kan gå vidare med beräkningarna. Lägg till området med alla dessa små rektanglar för att hitta det totala området.

Tänk dig att lägga till många skivor mellan dem under grafen och att bredden på varje är nära noll.

Lär dig att läsa och skriva integralerna korrekt. Dessa består av 4 delar. Här är dess typiska utseende:

∫ f (x) höger
Den första symbolen, ∫, indikerar integration. Den andra delen, f (x), indikerar funktionen som undersöks (2x + 2, t² och så vidare), medan förkortningen som du hittar i slutet visar vilken riktning du måste mäta.

Om i slutet av integralet du hittar förkortningen dy istället för höger betyder det att du mäter horisontellt, från y-axeln, i det här fallet är det komplexa problem.

Lär dig att beräkna integraler. Du kan gå vidare på olika sätt och du måste lära dig många formler för att integrera alla funktioner. Varje metod följer emellertid de principer som beskrivs ovan: Med integrationen hittar du ett oändligt antal rektanglar som du måste lägga till ihop.

Integration genom substitution;

Beräkning av obestämda integraler;

Integration av delar.

Vet att integration är den inverse funktionen av derivat. Detta är ett koncept "fast" av den oändliga räkningen och är det som har kunnat nå många vetenskapliga och tekniska upptäckter. Eftersom dessa två operationer är nära besläktade, kan deras kombination låta dig hitta förändringshastigheten, accelerationen, hastigheten och rörelsen, oavsett vilken information du har.

Tänk till exempel att hastighetsderivat är acceleration, så du kan använda den här data för att hitta den. Om du bara känner till en kropps acceleration (till exempel ett objekt som faller på grund av gravitationen) kan du fortsätta med integrationen och hitta hastigheten! Så, oberoende av uppgifterna i din besittning kan du använda integralerna och derivaten för att veta mer detaljer.

Kom ihåg att med integralerna kan du också hitta volymen av tredimensionella fasta ämnen. Om du roterar en platt figur runt en axel kan du skapa en 3D-solid. Tänk dig att vända ett mynt på bordet framför dig, du kommer märka att en sfär skapas under dess rörelse. Du kan använda det här konceptet för att hitta volymen i en definierad process "volym per rotation".

På så sätt kan du hitta volymen för alla fasta så länge du har en funktion som kan spåra den. Till exempel kan du hitta en funktion som definierar botten av en sjö och sedan använda den för att beräkna volymen av sjön själv, det vill säga dess vattenhalt.

tips

Förtydliga dina tvivel genom att prata med läraren.
Börja med att studera de grundläggande begreppen.
Var uppmärksam under lektionerna.
Övning gör perfekt, sedan övas genom att lösa problem i läroboken och kontrollera lösningarna för att bättre förstå koncepten.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade