Hur man ritar en rationell funktion

En rationell funktion är en ekvation som har form y = N (x) / D (x) där N och D är polynomier. Att försöka rita ett exakt diagram för hand kan få en fullständig översyn av många av de viktigaste ämnena för gymnasietematik, från grundläggande algebra till differentialkalkyl. Tänk på följande exempel: y = (2x² - 6x + 5) / (4x + 2).

steg

Hitta avlyssningen y. Byt bara ut x = 0. Allt försvinner, förutom konstanta villkor, lämnar y = 5/2. Uttrycka det som ett koordinatpar, (0, 5/2) är en punkt i diagrammet. Rita denna punkt.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 2

Hitta den horisontella asymptoten. Dela täljaren för nämnaren för att bestämma beteendet hos y för x tenderar till oändlighet. I det här exemplet visar divisionen att y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). För stora positiva eller negativa värden på x, 17 / (8 x + 4) tenderar att nollställas och grafen approximerar linjen y = (1/2)x - (7/4). Rita den här raden med en streckad eller mycket lätt linje.

Om graden av räknaren är mindre än nivåns grad är det ingen uppdelning att göra och asymptoten är y = 0.

Om graden (N) = grad (D) är asymptoten en horisontell linje som finns i förhållandet mellan huvudkoefficienterna.

Om grad (N) = grad (D) + 1 är asymptoten en linje där höjden är förhållandet mellan koefficienterna för maxgraderna.

Om betyg (N) > grad (D) + 1, sedan för stora värden av |x|, y det går snabbt till positiv eller negativ oändlighet som ett kvadratisk, kubiskt eller högre polynom. I det här fallet är det förmodligen inte värt att noggrant rita kvotens kvotient.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 3

Hitta nollorna. En rationell funktion har en noll när täljaren är noll, så vi måste ange N (x) = 0. I exemplet 2x² - 6x + 5 = 0. Diskriminanten av denna kvadratiska är b² - 4ac = 6² - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = - 4. Eftersom diskriminanten är negativ, N (x) - och följaktligen f (x) - har inga riktiga rötter. Grafen går aldrig över axeln x. Om du hittade några nollor lägger du till de här punkterna i diagrammet.

Bildnamn Grafik en rationell funktion Steg 4

Hitta de vertikala asymptoterna. En vertikal asymptot uppstår när nämnaren är noll. Lägger 4 x + 2 = 0, hitta den vertikala linjen x = -1/2. Rita varje vertikal asymptote med en streckad eller tunn linje. Om något värde av x gör täljare och nämnare både null, N (x) = 0 och D (x) = 0, det kan eller kanske inte vara en vertikal asymptote. Detta är sällsynt, men läs råd om hur man hanterar detta fall om det uppstår.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 5

Titta på resten av divisionen i steg 2. När är det positivt, negativt eller noll? I exemplet är räknaren av resten 17, som alltid är positiv. Nämnaren, 4x + 2, är positiv till höger om den vertikala asymptoten och negativ till vänster. Detta innebär att grafen närmar sig asymptoten ovanifrån för stora positiva värden på x och underifrån för stora negativa värden på x. Som 17 / (8 x + 4) kan aldrig vara noll, skär denna graf aldrig linjen y = (1/2) x - (7/4). Lägg inte till något i diagrammet nu, men skriv ned dessa slutsatser för senare.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 6

Hitta den lokala extremiteten. När en lokal extrema N `uppstår (x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. I exemplet är N `(x) = 4x - 6 och D `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x² - 6x + 5) * 4 = 0. Expanderande, kombinera termer och utdelning med 4, förblir x² + x - 4 = 0. Den kvadratiska formeln visar lösningar nära värdena x = 3/2 e x = - 5/2. Dessa skiljer sig från 0,06 från de exakta värdena, men vårt diagram kommer inte att vara så exakt att oroa sig för den detaljnivå. Att välja en anständig, rationell approximation underlättar nästa steg.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 7

Hitta värdena y av alla extrema lokala. Ange värdena x av föregående steg tillbaka till den ursprungliga rationella funktionen för att hitta värdet y korrespondent. I exemplet f (3/2) = 1/16 och f (-5/2) = -65/16. Lägg till dessa punkter, (3/2, 1/16) och (-5/2, -65/16), till grafen. Eftersom vi har approximerat i föregående steg är dessa inte de exakta minsta och maximala, men de är noga nära. Vi vet att (3/2, 1/16) ligger mycket nära det lokala minimumet. Från steg 3 vet vi det y Det är alltid positivt när x > -1/2 och vi hittade ett värde så litet som 1/16, så i det här fallet är åtgärden troligtvis mindre än linjens tjocklek.

Bildnamn Graph a Rational Function Steg 8

Anslut prickarna och förläng försiktigt diagrammet från kända punkter till asymptoter, var försiktig så att de kommer närmare rätt riktning. Var försiktig så att du inte korsar axeln x, utom i de punkter som redan finns i steg 3. Korsa inte den horisontella eller vertikala asymptoten, förutom i punkterna som redan finns i steg 5. Ändra inte lutningen från stigande till nedåtgående, utom i de ytterligheter som hittades i föregående steg.

tips

Om du följer stegen i ordning är det vanligtvis inte nödvändigt att använda studien av sekundära derivat eller liknande potentiellt komplicerade metoder för att bestämma om de kritiska punkterna är lokala höga eller låga eller inte heller. Försök först med att använda informationen från tidigare steg och lite logik.
Om du försöker studera funktionen endast med algebraiska metoder kan du ersätta stegen om hur du hittar de lokala extremiteterna genom att beräkna olika koordinatspar (x, y) ytterligare mellan varje par asymptoter. Alternativt, om du inte bryr dig om varför det fungerar, finns det ingen anledning till varför en elev som ännu inte har studerat analysen inte kan beräkna derivatet av ett polynom och lösa N `x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.
Några av dessa steg kan kräva upplösning av högkvalitativa polynomier. Om du inte hittar de exakta lösningarna via factoring, formler eller annat sätt, utvärdera sedan lösningarna med hjälp av numeriska tekniker som Newtons metod.
I sällsynta fall kan täljaren och nämnaren ha en icke-konstant gemensam faktor. Efter stegen skulle detta presentera sig som en noll och en vertikal asymptot på samma plats. Detta är omöjligt och det som faktiskt händer är ett av följande fall:
Nollpunkten i n (x) har större multipla noll i D (x). Grafen av f(x) närmar sig noll vid denna tidpunkt, men är inte definierad. Ange den med en öppen cirkel runt punkten.
Nollpunkten i n (x) och noll i (x) har samma multiplicitet. Grafen närmar sig en viss icke-nollpunkt för detta värde av x, men det är obestämt. Ange det igen med en öppen cirkel.
Nollpunkten i n (x) har mindre multiplicitet än noll i D (x). Här finns en vertikal asymptote.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade