Så här hittar du inflexionspunkter

I differentialkalkylen är en inflektionspunkt en punkt på en kurva där krökningen ändras tecken (från positiv till negativ eller vice versa). Den används i olika ämnen, inklusive teknik, ekonomi och statistik, för att fastställa grundläggande förändringar inom data. Om du behöver hitta en inflektionspunkt i en kurva, gå till steg 1.

Del 1
Förstå inflexionspunkterna

Bildtitel Hitta inflexionspunkter Steg 1

Förstå de konkava funktionerna. För att förstå inflektionspunkter måste du skilja mellan konkava och konvexa funktioner. En konkav funktion är en funktion där någon linje som sammanfogar två punkter i dess graf tas, aldrig ovanför grafen.

Bildtitel Hitta inflexionspunkter Steg 2

Förstå de konvexa funktionerna. En konvex funktion är i huvudsak motsatt till en konkav funktion: det är en funktion där någon linje som sammanfogar två punkter i dess graf aldrig ligger under grafen.

Förstå roten till en funktion. En rot av en funktion är den punkt där funktionen är noll.

Om du skulle grafiskt representera en funktion skulle rötterna vara punkterna där funktionen skär x-axeln.

Del 2
Hitta derivat av en funktion

Hitta derivatet före funktionen. Innan du hittar böjpunkter, måste du hitta derivaten av din funktion. Derivaten av en grundläggande funktion finns i någon analystext - du måste lära dig det innan du kan gå vidare till mer komplexa uppgifter. De första derivaten anges med f `(x). För polynomuttryck av formulär axeln^p + bx^(P-1) + cx + d, det första derivatet är apx^(P-1) + b (p - 1) x^(P-2) + c.

Antag att du måste hitta inflektionspunkten för funktionen f (x) = x³ +2x-1. Beräknar derivatet före funktionen enligt följande:

f `(x) = (x³ + 2x - 1) `= (x³) `+ (2x)` - (1) `= 3x² + 2 + 0 = 3x² + 2

Hitta det andra derivatet av funktionen. Det andra derivatet är derivatet av det första derivatet av funktionen, betecknad med f `` (x).

I exemplet ovan kommer det andra derivatet att se ut så här:

f `` (x) = (3x² + 2) `= 2 × 3 × x + 0 = 6x

Bildtitel Hitta inflexionspunkter Steg 6

Equalize det andra derivatet vid noll. Equalize ditt andra derivat till noll och hitta lösningarna. Ditt svar kommer att vara en möjlig inflektionspunkt.

I exemplet ovan ser din beräkning ut så här:

f `` (x) = 0
6x = 0
x = 0

Bildtitel Hitta inflexionspunkter Steg 7

Hitta den tredje derivaten av funktionen. För att få reda på om din lösning faktiskt är en inflektionspunkt, hitta det tredje derivatet, vilket är derivatet av det andra derivatet av funktionen, betecknat med f `` `(x).

I exemplet ovan ser din beräkning ut så här:

f `` `(x) = (6x)` = 6

Del 3
Hitta inflektionspunkten

Utvärdera det tredje derivatet. Standardregeln för beräkning av en möjlig inflektionspunkt enligt följande: "Om det tredje derivatet inte är lika med 0, då f `` `(x) ≠ 0, är den möjliga inflektionspunkten verkligen en inflektionspunkt." Kolla ditt tredje derivat. Om det inte är lika med 0 vid den punkten är det en riktig böjning.

I exemplet ovan är ditt beräknade tredje derivat 6, inte 0. Därför är det en riktig inflektionspunkt.

Hitta inflektionspunkten. Böjpunktspunktskoordinatet kallas (x, f (x)), där x är värdet av variabeln x vid böjpunkten och f (x) är värdet av funktionen vid böjpunkten.

I exemplet ovan, kom ihåg att när du beräknar det andra derivatet, hitta det x = 0. Så måste du hitta f (0) för att bestämma koordinaterna. Din beräkning kommer att se ut så här:

f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.