Så här lägger du till hela numren från 1 till N

Naturnummer är heltal som inte har fraktionella eller decimalkomponenter. Om ett matematiskt problem kräver att du lägger till ett antal heltal från 1 till ett givet N-värde behöver du inte lägga till varje värde manuellt. Använd istället ekvationen (N (N + 1)) / 2 - där N är det högsta numret i serien - för att spara tid, ansträngning och sanity.

steg

Definiera värdet av den största N. Lägg till heltal från 1 till valfritt nummer N kräver att N själv definieras som ett positivt heltal. Som en påminnelse är naturliga siffror heltal, så N kan inte vara ett decimaltal eller en bråkdel. Dessutom kan det inte vara negativt.

Låt oss anta att vi vill lägga till alla heltal från 1 till 100. I det här fallet kommer vi att använda 100 som värdet på N eftersom det är det sista numret i vår serie, eller med andra ord det största antalet som ska läggas till.

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 2

Multiplicera N med (N + 1) och dela med 2. När du har definierat heltalvärdet för N, ersätt det i ekvationen (N (N + 1)) / 2. Denna ekvation bestämmer summan av alla heltal mellan 1 och N.

I vårt exempel skulle vi ersätta i ekvation 100, värdet av N. (N (N + 1)) / 2 blir (100 (100 + 1)) / 2.

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 3

Lös upp operationen för att hitta svaret. Det slutliga värdet som erhålls genom denna ekvation representerar summan av alla tal mellan 1 och värdet av N.

Vi löser problemet med exemplet.

(100 (100 + 1)) / 2 =

(100 (101)) / 2 =

(10100) / 2 =

5050. Summan av alla heltal från 1 till 100 är 5050.

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 4

Förstå hur ekvationen (N (N + 1)) / 2 härleddes. Låt oss ta en titt på problemet med exemplet igen. Dela mentalt serierna 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 i två grupper - en från 1 till 50 och den andra från 51 till 100. Om du lägger till det första numret på den första gruppen (1) till den sista nummer för den andra gruppen (100), få 101. Hämta 101 även om du lägger till 2 till 99, 3 till 98, 4 till 97 osv. Om vi tilldelar varje nummer av den första gruppen till motsvarande nummer i den andra gruppen får vi 50 par tal som ger samma resultat - 101. Så, 50 × 101 = 5050, summan av heltal från 1 till 100. Observera att 50 är hälften av 100, och att 101 är 100 + 1. Faktum är att denna observation håller för summan av ett positivt heltal - komponenttilläggsoperationer kan delas in i två grupper - därefter kommer antalet av dessa grupper De kan tilldelas varandra så att varje par, när de läggs ihop, ger samma värde. Observera att det udda talet kommer att ha resten av ett tal - detta påverkar inte det slutliga svaret.

Generellt sett kan vi säga att för ett tal N är summan av siffrorna från 1 till N lika med (N / 2) (N + 1). Den förenklade formen av denna ekvation är (N (N + 1)) / 2, ekvationen för summan av heltal.

Använd Summan 1 till N för att hitta summan av heltal mellan två nummer

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 5

Bestäm om du vill lägga till ihop eller uteslutande. Ofta, snarare än att bli ombedd att hitta summan av en serie heltal från 1 till ett givet tal, blir du ombedd att hitta summan av en serie heltal mellan två hela tal N₁ och N₂, där N₁ > N₂ och båda är > 1. Processen för att beräkna denna summa är relativt enkel, men innan du utför den måste du bestämma om summan ska vara inkluderande eller exklusiv - med andra ord om den ska innehålla N₁ och N₂, eller bara Hela talet mellan dem, eftersom förfarandet varierar något enligt denna distinktion.

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 6

För att hitta summan av heltal mellan två nummer N₁ och N₂, beräknar summan för varje värde av N separat och subtraherar sedan. I allmänhet är allt du behöver göra för att hitta svaret subtraherat summan av värdet mindre än N från summan av det största värdet av N. Men, som anges ovan är det viktigt att veta om du lägger till ihop eller uteslutande. Den inkluderande summan kräver subtrahering 1 från värdet av N₂ innan den läggs in i ekvationen, medan den exklusiva summan kräver subtrahering 1 från värdet av N₁.

Vi medger att vi uppmanas att hitta summan inclusive av hela numren mellan N₁ = 100 och N₂. Med andra ord behöver vi hitta 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. För att göra detta, skulle vi hitta summan av heltal från 1 till N₁, så vi skulle subtrahera summan av heltal från 1 till N₂ - 1 (kom ihåg, när vi lägger till, subtraherar vi 1 från N₂), som löser sig enligt följande:

(N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1)) / 2 =

(100 (100 + 1)) / 2 - (74 (74 + 1)) / 2 =

5050 - (74 (75)) / 2 =

5050 - 5550/2 =

5050 - 2775 = 2275. Den inkluderande summan av heltal mellan 75 och 100 är 2200.

Nu, låt oss försöka lägga upp uteslutande. Ekvationen är densamma, förutom i detta fall subtraherar vi 1 från N₁ istället för N₂:

((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1)) / 2 =

(99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 + 1)) / 2 =

(99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =

9900/2 - 5700/2 =

4950 - 2850 = 2100. Den exklusiva summan av heltal mellan 75 och 100 är 2100.

Bildnamn Summa heltal från 1 till N steg 7

Förstå varför denna procedur fungerar. Tänk på summan av heltal från 1 till 100 som 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 och summan av heltal från 1 till 75 som 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 Hitta den inkluderande summan av heltal mellan 75 och 100: hitta 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Summan från 1 - 75 och 1 - 100 är densamma upp till 75 - vid den tidpunkten summa från 1 till 75 "stopp" och summan från 1 till 100 "fortsätter" med ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Eftersom detta händer kan vi subtrahera summan av heltal från 1 - 75 från summan av heltal från 1 till 100 till "isolera" summan av heltal från 75 till 100.

Men om vi lägger samman, måste vi använda summan av 1 - 74, i stället för summan av 1 - 75, för att se till att vi inkluderar nummer 75 i vår slutliga summa.

På samma sätt, om vi bara lägger till, måste vi använda summan av 1 - 99, snarare än summan av 1 - 100, för att se till att numret 100 inte ingår i summan. Vi kan använda summan av 1 - 75, eftersom subtraheringen av detta värde från summan av 1 - 99 utesluter numret 75 från vår slutliga summa.

tips

Resultatet är alltid heltal eftersom O N eller N + 1 är jämn och kan därför delas med 2.
Kort sagt: Summa (från 1 till N) = N (N + 1) / 2
Summa (från a till b) = Summa (från 1 till b) - Summa (från 1 till 1).

varningar

Även om det inte är särskilt svårt att tillämpa generaliseringar på negativa tal är detta förfarande begränsat till alla positiva heltal (heltal) N, där N är minst 1.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade