Så här bestämmer du om en oändlig serie övergår

Endless-serien kan vara skrämmande och förvirrande, eftersom de är ganska svåra att visualisera. Vid första anblicken är det svårt att förstå om en serie konvergerar eller inte - för några århundraden sedan skulle det ta timmar att lösa ett enda problem av detta slag. Men nu, tack vare många strålande matematiker, kan vi använda test för att förstå om en serie konvergerar eller inte, och det här är mycket användbart. Testerna används för att förstå om serierna konvergerar eller avviker, inte för att hitta summan. Se till att du har en god förståelse för analysen.

steg

Utför grundläggande kontroller. Det finns en enkel teori som anger att om summan vid oändligheten för en funktion f konvergerar, så är gränsen för funktionen f 0. Så förutsatt att funktionen x ^ 2 har denna funktion vid oändlighet har ingen gräns 0, så summan avviker oändligt, men med 1 / x är gränsen till oändlighet 0, så vi måste fortsätta. Om gränsen inte är lika med 0, vet vi omedelbart att serien avviker. OBS: motsatsen är inte sant, om gränsen är 0 betyder det inte att serien konvergerar. Vi måste göra ytterligare kontroller.

Bildnamn Bestäm om en obegränsad serie överför steg 2

Kontrollera om det är en geometrisk serie. Det här är en mycket enkel och lätt identifierad sats, så du bör alltid kolla om den är giltig. En geometrisk serie är en oändlig summa, vars formel är r ^ k, där k är variabeln och r är större än -1 och mindre än 1. En geometrisk serie sammanfaller alltid. Du kan också hitta summan av serien, som ges av 1 / (1-r).

Kontrollera om det är en P-serie. P-serien är summeringar av funktioner i formen 1 / (x ^ p), där x är ett tal. Statsen anger att om p är större än 1, ser serien samman, om p är mindre än eller lika med 1, skiljer sig serien från varandra. Det betyder att vårt första exempel, 1 / x, avviker genom att det är samma sak som 1 / (x ^ 1), i det här fallet p = 1. Detta kallas den harmoniska serien. 1 / (x ^ 2) konvergerar, eftersom 2 är större än 1.

Om ingen av ovanstående fungerar. Följande tester måste användas, om en är oavslutlig eller irrelevant, måste en annan provas. Det är inte alltid klart vilket man ska försöka först, men med övning kan man förbättra sig i beslutet, men det finns ingen viss metod på vilken ordning man ska välja.

Jämförelsekriteriet. Antag att vi har två serier med positiva termer, a (n) och b (n). Då: i) Om den oändliga summan av b (n) konvergerar och (n) är mindre än b (n) (för tillräckligt stora n), då summan av (n) konvergerar också. ii) Om b (n) divergerar och a (n) > b (n), då en (n) också divergerar. Om vi till exempel har 2 / x-serien kan vi jämföra den med 1 / x. Eftersom vi redan vet att 1 / x är divergerande och sedan 2 / x > 1 / x, så följer att även 2 / x avviker. Således är den grundläggande metoden att använda en känd serie för att bestämma om den okända serien konvergerar eller avviker.

Bildnamn Bestäm om en obegränsad serie överför Steg 4Bullet1

Det asymptotiska jämförelsekriteriet. Om a (n) och b (n) är serie med positiva termer och om gränsen för (n) / b (n) finns och är större än 0, då båda serierna konvergerar eller båda divergerar. Återigen kräver detta användning av en känd serie, och metoden är generellt att välja en andra serie vars maximala effekt är densamma som den maximala effekten av det datumet. Om vi till exempel hade 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), så är det meningsfullt att jämföra det med 1 / (x ^ 3).

Bildnamn Bestäm om en obegränsad serie överför Steg 4Bullet2

Kriterium för integralet. Om en funktion är positiv, kontinuerlig och nedåtgående för x större än eller lika med 1. Konvergerar den oändliga serien f (n) om integralet mellan 1 och oändligheten f (x) existerar och avviker om integralet inte det existerar. Så i grunden handlar det om att integrera funktionen och hitta gränsen till oändligheten. Om det existerar konvergerar serien, om det inte är fallet, avviker det.

Bildnamn Bestäm om en infinitiv serie överför Steg 4Bullet3

Leibnitz kriterium (för alternerande serier). Om en (k) > en (k + 1) > 0 för k är tillräckligt stor och gränsen för a (n) är 0, konvergerar den alternerande serien (-1) ^ n a (n). Om du bara har en alternativ serie, en serie där varje term ändras tecken, kan du helt enkelt eliminera den alternativa delen av funktionen och hitta gränsen för vad som finns kvar, om gränsen existerar, konvergerar serien.

Roten kriterium. Med en oändlig serie a (n), bör vi överväga ett (n + 1), det generaliserade uttrycket för nästa serieperiod. Då borde du beräkna en (n + 1) / a (n) och ta ifrån sig formuläret. Sök sedan gränsen för detta, om gränsen existerar kan du ange tre saker: 1) Om gränsen är mindre än 1, konvergerar serien. 2) Om gränsen är större än 1, avviker serien. 3) Om gränsen är lika med 1, leder inte testet till någon slutsats.

Dessa är de viktigaste konvergenskriterierna, och de är mycket användbara. Om ingen av dessa fungerar, är det mycket troligt att problemet är olösligt eller att du gjorde ett misstag. Dessa kan utökas till andra delar som kraftserier, Taylor-serier och mycket mer. Det är mycket användbart att förstå dessa test, eftersom det inte finns något annat enkelt sätt att bestämma konvergens.

tips

Kontrollera alltid gränsen, och om det är en geometrisk serie eller en P-serie innan du använder ett jämförelsetest kan det spara mycket tid och arbete.

varningar

Använd inte räknaren för alla problem

Dela på sociala nätverk:

Relaterade