Hur man beräknar sannolikheten i tärningen

Många tror att genom att dra 3 normala 6-sidiga tärningar har du samma chans att få tre eller tio. Men inte så, och den här artikeln kommer visa dig hur man beräknar den genomsnittliga avvikelsen för en uppsättning tärningar.

Lär terminologi av tärningsmekanik. Tärningarna har vanligen sex ytor, men det finns också d2 (mynt) d4 (3-facet pyramider), d8 (oktaedern), d10 (tioplaning), d12 (dodekaeder) och d20 (ikosaeder). Rullen av tärningen följer formeln (antal tärningar) (typ av mutter), så 2D6 representera lanseringen av 2 6-sidig tärning. I denna artikel antar vissa formler det n = antal identiska nötter e r = antal sidor på varje sida, numrerade från 1 till r, och "k" är värdet av kombinationen. Det finns olika metoder för beräkning av approximationen av varje summa.

Metod 1

uppräkning

Notera antalet tärningar, deras sidor och önskad mängd.

Uppräknar alla sätt att få summan. Det kan vara tråkigt om det finns många tärningar, men det är ganska linjärt. Det är som att leta efter alla partitioner av k i n delar, varav ingen är större än r. Ett exempel på n = 5, r = 6 och k = 12 visas nedan. För att säkerställa att räkningen är uttömmande och det inte finns några duplikat, presenteras partitionerna i lexografisk ordning och tärningen av varje partition i stigande ordning.

Inte alla partitioner som anges i föregående steg är lika troliga. Detta beror på att de måste listas, inte bara räknas. I ett exempel är mindre än 3 tärning, skiljeväggen 123 omfattar 6 möjligheter (123, 132, 213, 231, 312, 321) under det att skiljeväggen 114 det endast täcker tre (114, 141, 411) och 222 innefattar endast sig själv. Använd den multinomiella formeln för att beräkna antalet möjliga versioner för varje partition.

Lägger till det totala antalet sätt att få det aktuella numret.

Dela upp med det totala antalet resultat. Eftersom varje dö har lika stora sidor är det helt enkelt rⁿ.

Metod 2

rekursion

Denna metod ger chansen att varje summa för varje totalt antal tärningar. Den kan enkelt användas i ett kalkylblad.

Notera oddsen för resultaten av en enda dö. Registrera dem i ett kalkylblad. Det visade exemplet använder 6-sidig tärning. Blanka linjer för negativa summor behandlas som nollor och låter dig använda samma formel i varje rad.

Använd den angivna formeln i 2-tärningskolonnen. Det är sannolikheten att 2 tärningar ger någon summa k lika med summan av följande händelser. För mycket höga eller mycket låga värden på k, kan vissa eller alla dessa termer vara 0, men formeln gäller för valet av k.

Den första delen visar k-1 och den andra visar 1.

Den första munen visar k-2 och den andra visar 2.

Den första delen visar k-3 och den andra visar 3.

Den första delen visar k-4 och den andra visar 4.

Den första delen visar k-5 och den andra visar 5.

Den första delen visar k-6 och den andra visar 6.

På samma sätt gäller för 3 eller fler tärningar samma formel fortfarande, med användning av de sannolikheter som nu är kända för varje mängd som ges på en stans mindre. Därför kan formeln införd i den andra passagen användas både vertikalt och horisontellt tills bordet är fullständigt.

Att konvertera "antal sätt" och "sannolikhet" är enkelt: sannolikhet = antal lägen / r ^ n där r är antalet sidor i varje munstycke och n är antalet tärningar.

Metod 3

Generera funktioner

Skriv polynom (1 / r) (x + x² + x^r). Detta är den genererande funktionen för en enda dö. Koefficienten för termen x^k det är sannolikheten att döet kommer att visa k.

Det höjer polynomet till kraften av n^th för att erhålla motsvarande genereringsfunktion för summan som visas på n tärning. Det är beräkningen (1 / rⁿ) (x + x² + x^r)ⁿ. Om n är större än ca 2, kommer det troligen att vara fallet att använda en dator.

När det gäller beräkningarna motsvarar denna metod den tidigare, men ibland är de teoretiska resultaten enklare att få med en genereringsfunktion. Till exempel, lanseringen av 2 normala 6-sidiga tärningar har samma identiska fördelningen av summor av en mutter (1, 2, 2, 3, 3, 4) och en annan i form (1, 3, 4, 5, 6 , 8). Detta beror på att (x + x² +x²+x³+x³+x⁴) (X + x³ +x⁴+x⁵+x⁶+x⁸) = (x + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶) (X + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶).

Metod 4

Kontinuerlig approximation

För en mångfald tärningar kan den exakta beräkningen genom att följa tidigare metoder vara komplicerad. Den centrala gränsteorin anger att summan av ett antal identiska tärningar närmar sig en normal fördelning med ökningen av antalet tärningar.

Beräknar medel- och standardvariationen baserat på antal och typ av tärningar. Platser n tärning numrerade från 1 till r, gäller följande formler.

Medelvärdet är (r + 1) / 2.

Variationen är n (r ^ 2-1) / 12.

Standardavvikelsen är kvadratroten av variationen.

Använd normalfördelningen med medelvärdet och standardavvikelsen ovan som en approximation av summan av tärningen.

varningar

Användningen av flera typer av tärningar komplicerar dessa metoder. I detta fall är det snabbaste sättet att bestämma sannolikheten vanligtvis uppräkning av alla möjliga utfall och sedan ordna dem i stigande ordning baserat på beloppen.

Visa mer ... (1)

Dela på sociala nätverk:

Relaterade