Hur man beräknar volymen

Volymen av ett fastämne är värdet av hur mycket tredimensionellt utrymme upptar objektet. Du kan tänka på volymen som mängden vatten (eller sand, eller luft, och så vidare) som objektet kan hålla när det är helt fyllt. De vanligaste måttenheterna är kubikcentimeter (cm³) och kubikmeter (m³) - i det angelsaxiska systemet föredras i stället de kubiska tummen (in³) och kubikfot (ft³). Denna artikel kommer att lära dig hur man beräknar volymen av sex olika solida siffror som vanligtvis finns i matematiska problem (som kottar, kuber och sfärer). Du kommer märka att många volymformler liknar varandra, vilket gör dem enkla att memorera. Testa själv och se om du kan känna igen dem när du läser!

I korthet: Beräkna volymen av vanliga siffror

I en kub eller rektangel parallellpipad måste du mäta höjd, bredd och djup och multiplicera dem och hitta volymen. Se detaljer och bilder.
Mät höjden på en cylinder och basens radie. Använd dessa värden och beräkna πr², multiplicera sedan resultatet efter höjd. Se detaljer och bilder.
Volymen av en vanlig pyramid är lika med ⅓ x area av basen x höjd. Se detaljer och bilder.
En konans volym beräknas med formeln: ⅓πr²h, där r är radie av basen och h höjden på konen. Se detaljer och bilder.
För att hitta en sfärens volym är allt du behöver veta radien r. Ange dess värde i formeln ⁴/₃πr³. Se detaljer och bilder.

Metod 1

Beräkna volymen på en kub

Känna igen en kub. Det är en tredimensionell geometrisk figur med sex fyrkantiga ansikten lika med varandra. Med andra ord är det en låda med alla samma sidor.

En sexsidig dörr är ett bra exempel på en kub som du kan hitta hemma. Till och med sockerbitar och träblock för barn med bokstäver är vanligtvis kuber.

Lär dig formeln för kubvolymen. Eftersom alla sidor är desamma är formeln väldigt enkel. Det är V = s³, där V står för volym och s är längden på ena sidan av kuben.

För att hitta s³, multiplicera helt enkelt s tre gånger för sig själv: s³ = s * s * s.

Hitta längden på en sida. Beroende på vilken typ av problem du har, kan du redan ha den här informationen eller du måste mäta den med en linjal. Kom ihåg att eftersom alla sidor är lika i kuben är det inte viktigt som du anser.

Om du inte är 100% säker på att den aktuella siffran är en kub, mäta varje sida för att se till att de är alla samma. Om inte, måste du använda metoden som beskrivs nedan för att beräkna volymen av en rektangel parallellpipad.

Ange värdet på sidan i formeln V = s³ och gör beräkningarna. Om du till exempel fann att längden på kubens sida är 5 cm, bör du skriva om formeln på följande sätt: V = (5 cm)³. 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm³, det vill säga kubens volym!

Kom ihåg att uttrycka svaret i kubiska enheter. I exemplet ovan mättes längden på kubens sida i centimeter, så volymen bör uttryckas i kubikcentimeter. Om sidans värde hade varit 3 cm hade volymen varit V = (3 cm)³ därför V = 27 cm³.

Metod 2

Beräkna volymen av en rektangel parallellpiped

Anteckna en rektangel parallellpipad. Denna tredimensionella figur, även känd som en rektangulär prisma, har sex rektangulära ytor. Med andra ord är det en "låda" med sidor som är rektanglar.

En kub är faktiskt en särskild rektangel parallellpipad, där alla kanter är lika.

Lär dig formeln för att beräkna volymen av den här siffran. Formeln är: Volym = längd * djup * höjd eller V = lph.

Hitta längden på det fasta. Detta är den längsta sidan av ansiktet parallellt med marken (eller den som parallellpiped är stödd). Längden kan ges av problemet eller det måste mätas med en linjal (eller ett måttband).

Till exempel: längden på detta rektangulära fasta materialet är 4 cm, så l = 4 cm.

Oroa dig inte för mycket om vilken sida du anser som längd, djup och höjd. Så länge du mäter tre olika dimensioner, ändras inte resultatet, oavsett ställning av faktorerna.

Hitta djupet av det fasta materialet. Detta består av den kortare sidan av ansiktet parallellt med marken, den som parallellpiped vilar. Också i det här fallet, kontrollera om problemet ger dessa data, eller mät det med en linjal eller ett måttband.

Exempel: djupet av denna rektangulära parallellpiped är 3 cm så p = 3 cm.

Om du mäter det rektangulära fasta med en mätare eller linjal, kom ihåg att ange måttenheten bredvid det numeriska värdet och att det är konstant för varje mätning. Mäta inte en sida i centimeter och den andra i millimeter, använd alltid samma enhet!

Hitta längden på parallellpiped. Detta är avståndet mellan ansiktet vilande på marken (eller den där det fasta vilar) och övre ytan. Hitta den här informationen i problemet eller få det genom att mäta det fasta med en linjal eller ett måttband.

Exempel: höjden på denna fasta substans är 6 cm, så h = 6 cm.

Ange dimensionerna av rektangeln parallellpiped i formeln och gör beräkningarna. Kom ihåg att V = lph.

I vårt exempel, l = 4, p = 3 och h = 6. Därför V = 4 * 3 * 6 = 72.

Verifiera att du har uttryckt värdet i kubik enheter. Eftersom dimensionerna för den betraktade parallellpiped mättes i centimeter kommer ditt svar att skrivas som 72 kubikcentimeter eller 72 centimeter³.

Om måtten var: längd = 2 cm, djup = 4 cm och höjd = 8 cm hade volymen varit 2 cm * 4 cm * 8 cm = 64 cm³.

Metod 3

Beräkna volymen på en cylinder

Lär dig att känna igen en cylinder. Det är en solid geometrisk figur med två cirkulära och plana baser som är identiska med varandra med ett enda krökt ansikte som förbinder dem.

Ett bra exempel på en cylinder är AA- eller AAA-batterierna.

Minns cylindervolymformeln. För att beräkna dessa data måste du känna till höjden på figuren och radie av den cirkulära basen (avståndet mellan mitten och omkretsen). Formeln är: V = πr²h, där V är volymen, r är den cirkulära basens radie, h är höjden på det fasta och π är pi-konstanten.

I vissa geometriska problem kan lösningen uttryckas i form av pi, men i de flesta fall kan du runda konstanten till 3,14. Fråga din lärare vad han föredrar.

Formeln för att hitta volymen på en cylinder är mycket lik den för den rektangulära parallellpiped: multiplicera bara höjden av det fasta materialet för basens yta. I en rektangulär parallellpiped är ytan på basen lika med l * p medan cylindern är πr², det vill säga arean i en cirkel med radie r.

Hitta radie av basen. Om detta värde tillhandahålls av problemet, använd helt enkelt det nummer som ges. Om diametern är känd istället för radieen, dividerar värdet med två (d = 2r).

Mät fast ämne om du inte känner till radie. Var försiktig, eftersom det inte alltid är lätt att få noggranna mätningar från ett cirkulärt objekt. En lösning skulle vara att mäta cylinderns toppyta med en linjal eller ett måttband. Gör ditt bästa för att anpassa dig till den bredaste delen av cirkeln (diametern) och dela sedan upp de data du får med 2, så du kommer att få radie.

Alternativt kan du mäta cylinderns omkrets (omkretsen) med hjälp av ett måttband eller en sträng som du kan markera omkretsmätningen (och kontrollera sedan med en linjal). Ange de data som finns i formeln för omkretsen: C (omkrets) = 2πr. Dela omkretsen med 2π (6.28) och få radien.

Om exempelvis omkretsen du mättar är 8 cm, blir radie 1,27 cm.

Om du behöver noggranna data kan du använda båda metoderna för att se till att du får liknande värden. Om inte, upprepa proceduren. Beräkning av radie från omkretsvärdet ger vanligtvis mer noggranna resultat.

Beräkna området för bascirkeln. Ange värdet på radien i områdesformeln: πr². Först multiplicerar radien en gång för sig själv och multiplicerar produkten med π. Till exempel:

Om cirkelns radie är 4 cm, så är basens yta A = π4².

4² = 4 * 4 = 16 16 * π (3,14) = 50,24 cm².

Om du har fått basens diameter istället för radie, kom ihåg att detta är lika med d = 2r. Du behöver helt enkelt dela diametern i hälften för att få radie.

Hitta cylinderns höjd. Detta är avståndet mellan de två cirkulära baserna. Hitta den här informationen i problemet eller mät det med en linjal eller ett måttband.

Multiplicera värdet på basområdet med höjden på cylindern och du får volymen. Eller så kan du undvika det här steget genom att införa dimensionerna av fastämnet direkt i formeln V = πr²h. I vårt exempel kommer cylindern med radie 4 cm och höjd 10 cm ha en volym av:

V = π4²10

π4² = 50,24

50,24 * 10 = 502,4

V = 502,4

Kom ihåg att uttrycka resultatet i kubiska enheter. I vårt exempel mättes cylinderns dimensioner i centimeter, så volymen måste uttryckas i kubikcentimeter: V = 502,4 cm³. Om cylindern hade uppmätts i millimeter skulle volymen ha angivits i kubikmeter (mm³).

Metod 4

Beräkna volymen av en vanlig pyramid

Förstå vad en vanlig pyramid är. Det är en solid figur med en polygon för basen och de laterala ansikten som går med en vertex (pyramidens spets). En vanlig pyramid baseras på en vanlig polygon (med alla samma sidor och vinklar).

Oftast föreställer vi oss en fyrkantig pyramid med sidor som konvergerar i en enda punkt, men det finns pyramider med en bas av 5, 6 och till och med 100 sidor!
En cirkulär baspyramid kallas en kon och kommer att diskuteras senare.

Lär volymen formel för en vanlig pyramid. Detta är V = 1 / 3bh, där b är ytan på pyramidens bas (polygonen vid botten av det fasta materialet) och h är pyramidens höjd (det vertikala avståndet mellan basen och vertexen).

Formeln för volymen gäller alla typer av raka pyramider, där vertex är vinkelrät mot centrum av basen, och för dem sneda, där vertex inte är centrerad.

Beräkna ytan på basen. Formeln beror på hur många sidor den geometriska figuren fungerar som en bas. Den i vårt diagram har en fyrkantig bas med 6 cm sidor. Kom ihåg att den kvadratiska områdesformeln är A = s² där s är längden på sidan. I vårt fall är basområdet (6 cm) ² = 36 cm².

Formeln för triangeln är: A = 1 / 2bh, där b är basen av triangeln och h är dess höjd.

Du kan hitta ytan för varje regelbunden polygon med användning av formeln A = 1 / 2PA, där A är arean, p är omkretsen och är den apotema, avståndet mellan centrum av den geometriska figuren och mittpunkten av varje sida. Detta är en ganska komplicerad beräkning som går utöver omfattningen av denna artikel, men du kan läsa den här artikeln där du hittar giltiga instruktioner. Alternativt kan du hitta "genvägar" på nätet med automatiska polygonområdesräknare.

Hitta pyramidens höjd. I de flesta fall anges detta i problemet. I vårt specifika exempel har pyramiden en höjd av 10 cm.

Multiplicera basområdet med dess höjd och dela resultatet med 3, så får du volymen. Kom ihåg att volymen formel är: V = 1 / 3bh. I pyramiden i exemplet med bas 36 och höjd 10 är volymen: 36 * 10 * 1/3 = 120.

Om vi hade en annan pyramid, med en femkantig bas av område 26 och höjd 8, hade volymen varit: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.

Kom ihåg att uttrycka resultatet i kubiska enheter. Dimensionerna för vår pyramid har angivits i centimeter, så volymen måste uttryckas i kubikcentimeter: 120 cm³. Om pyramiden hade uppmätts i meter skulle volymen uttryckas i kubikmeter (m³).

Metod 5

Beräkna volymen av en kotte

Lär egenskaperna hos konen. Det är ett tredimensionellt fast ämne med en cirkulär bas och ett enda toppunkt (kupens spets). Ett alternativt sätt att tänka på konen är att betrakta det som en speciell pyramid med en cirkulär bas.

Om kottens kot är vinkelrätt mot mitten av bascirkeln, talar vi om "rätt kon". Om vertexen inte är centrerad med basen pratar vi om "sned konus". Lyckligtvis är volymformeln densamma, oavsett om det är en sned eller rak kon.

Lär dig formeln av konusens volym. Detta är: V = 1 / 3πr²h, där r är den cirkulära basens radie, h är koniskens höjd och π är pi-konstanten som kan approximeras till 3,14.

Den del av formeln πr² hänvisar till området av konens cirkulära bas. För detta kan du tänka på det som den allmänna formeln för en pyramides volym (se tidigare metod) som är V = 1 / 3bh!

Beräkna ytan på den cirkulära basen. För att göra detta behöver du veta radien, vilket ska anges mellan data för problemet eller i diagrammet. Om du får diametern, kom ihåg att du bara måste dela den med 2 för att hitta radie (givet att d = 2r). Ange nu värdet på radien i formeln A = πr² och hitta området på basen.

I vårt diagrams exempel är basens radie 3 cm. När du anger denna data i formeln får du: A = π3².

3² = 3 * 3 = 9 då A = 9π.

A = 28,27 cm²

Hitta höjden på konen. Detta är det vertikala avståndet mellan vertexen och basen av fastämnet. I vårt exempel har konen en höjd av 5 cm.

Multiplicera höjden på konen för basområdet. I vårt fall är området 28,27 cm² och höjden är 5 cm, så bh = 28,27 * 5 = 141,35.

Vid denna tidpunkt måste du multiplicera resultatet med 1/3 (eller helt enkelt dela det med 3) för att hitta kupens volym. I det föregående avsnittet har vi praktiskt taget beräknat volymen på en cylinder med väggarna som sträckte sig uppåt, vinkelrätt mot basen. Men eftersom vi betraktar en kon, vars väggar konvergerar mot vertexen, måste vi dividera detta värde med 3.

I vårt fall: 141,35 * 1/3 = 47,12 dvs konusens volym.

För att bekräfta konceptet: 1 / 3π3²5 = 47,12.

Kom ihåg att uttrycka svaret i kubiska enheter. Eftersom vår kotte har uppmätts i centimeter, måste volymen uttryckas i kubikcentimeter: 47,12 cm³.

Metod 6

Beräkna volymen av en sfär

Känna igen en sfär. Det är ett perfekt rund tredimensionellt objekt där varje punkt på ytan är jämn från centrum. Med andra ord är en sfär ett bollformat föremål.

Lär dig formeln för att beräkna sfärens volym. Detta är: V = 4 / 3πr³ (vilket uttalas "fyra tredjedelar av kuben"), där r står för sfärens radie och π är pi-konstanten (3,14).

Hitta sfärens radie. Om radien anges i diagrammet är det inte svårt att identifiera det. Om du får diameterdata måste du dividera detta värde med 2 och du hittar radien. Till exempel är sfärens radie i diagrammet 3 cm.

Mät sfären om radiusdata inte anges. Om du behöver mäta ett sfäriskt föremål (som en tennisboll) för att hitta radien, måste du först få en sträng tillräckligt lång för att vara omslagen runt objektet. Därefter slingrar du strängen på sfären vid den bredaste punkten (eller ekvator) och ritar ett märke där strängen överlappar sig. Mät sedan segmentet av garn med en linjal och få omkretsvärdet. Dela det här numret med 2π, eller 6,28, och få sfärens radie.

Tänk på det exempel där tennisbollens omkrets är 18 cm: dela det numret med 6,28 och få ett värde för radieen 2,87 cm.

Det är inte lätt att mäta ett sfäriskt objekt, det bästa är att göra tre mätningar och beräkna medelvärdet (summera värdena mellan dem och dela resultatet med 3), så får du den mest exakta dataen möjligt.

Antag att de tre mätningarna av tennisbollens omkrets är: 18 cm, 17,75 cm och 18,2 cm. Du borde lägga till dessa nummer tillsammans (18 + 17,75 + 18,2 = 53,95) och sedan dela resultatet med 3 (53,95 / 3 = 17,98). Använd detta medelvärde för volymberäkningar.

Höj radien för att hitta värdet på r³. Detta innebär helt enkelt att multiplicera data tre gånger för sig själv, då: r³ = r * r * r. Alltid efter logiken i vårt exempel har vi det r = 3, varifrån r³ = 3 * 3 * 3 = 27.

Multiplicera nu resultatet med 4/3. Du kan använda en räknare eller utföra multiplicering för hand och sedan förenkla fraktionen. I tennbollens exempel kommer vi att ha det: 27 * 4/3 = 108/3 = 36.

Vid denna punkt multiplicerar du det värde som erhålls för π och du hittar sfärens volym. Det sista steget är att multiplicera resultatet hittills hittat för konstanten π. I de flesta matematiska problem, detta avrundas till två decimaler (om inte din lärare ger olika instruktioner) - så att du kan säkert multiplicera med 3,14 för att finna den slutliga lösningen på frågan.

I vårt exempel: 36 * 3.14 = 113.09.

Uttryck svaret i kubiska enheter. I vårt exempel har vi uttryckt radien i centimeter, så värdet av volymen blir V = 113,09 kubikcentimeter (113,09 cm³).

Dela på sociala nätverk:

Relaterade