gushelom.ru

Hur man ritar Mandelbrot-satsen med handen

Mandelbrot-uppsättningen består av punkter som ritats på ett komplext plan för att bilda a fractal: En imponerande geometrisk figur där varje del är en miniatyrkopia av hela. Det var möjligt att se de fascinerande dolda bilder i uppsättningen av Mandelbrot sedan sextonde århundradet, tack vare insikten att han hade Rafael Bombelli av imaginära tal ... men det var först efter Benoit Mandelbrot och andra började utforska fraktaler med hjälp av dator att detta hemliga universum presenterades.


Nu när vi vet om dess existens, kan vi hantera det på ett mer "primitivt" sätt: för hand! Här är ett sätt att visa en grov representation av hela, med det enda syftet att förstå hur det görs - du kan då bättre utvärdera de representationer du kan få med de många öppna källprogrammen som finns tillgängliga eller att du kan se på CD-ROM och DVD.

steg

Bildnamn 217503 1
1
Förstå den grundläggande formeln, ofta uttryckt som z = z2 + c. Det betyder helt enkelt att för varje punkt i Mandelbrot universum vi vill se, fortsätter vi att beräkna värdet av z tills en av de två förutsättningarna uppstår - så färgar vi den för att visa hur många beräkningar vi gjorde. Oroa dig inte! Det kommer att bli allt klart i följande steg.
  • Bildnamn 217503 2
    2
    Ta tre pennor, kritor eller markörer i olika färger, plus en svart penna eller penna för att spåra mönstret. Anledningen till att vi behöver tre färger är att vi kommer att göra en första approximation med högst tre iterationer (eller passager: med andra ord, applicera formeln upp till tre gånger för varje punkt):
  • Bildnamn 217503 3
    3
    rita med penna svart ett stort bord för tris av tre rutor för tre, på en bit av papper.
  • Bildnamn 217503 4
    4
    Markera (alltid i svart) den centrala torget (0,0). Detta är det konstanta värdet (c) av punkten i exakt mittpunkten av torget. Låt oss nu säga att varje kvadrat är 2 enheter bred, summera och / eller subtrahera 2 från / från värdena på x och y av varje kvadrat, var x och y det första respektive andra talet. När detta är klart kommer resultatet att vara det som visas här. Efter cellerna horisontellt kommer värdena på y (det andra talet) att vara oförändrade - genom att följa dem vertikalt kommer värdena på x (det första numret) att vara.
  • 5
    Beräkna det första steget, eller iteration, av formeln. Precis som datorn (i själva verket är den ursprungliga meningen med detta ord "person som beräknar"), du kan göra det ensam. Låt oss börja med dessa antaganden:

  • Utgångsvärdet för z av varje kvadrat är (0,0). När absolutvärdet för z för en given punkt är större än eller lika med 2, sägs att den punkten (och dess motsvarande kvadrat) är fled från Mandelbrot-uppsättningen. I det här fallet kommer du att färga torget enligt antalet iterationer av den formel du tillämpade vid den punkten.
    Bildtitel 217503 5: e
  • Välj de färger du ska använda för steg 1, 2 och 3. Antag att i den här artikeln avses rött, grönt och blått.
    Bildnamn 217503 5b
  • Beräknar värdet på z i övre vänstra hörnet av tabellen för tris, förutsatt att ett startvärde på z är 0 + 0i eller (0,0) (se Tips för bättre förståelse för dessa representationer). Vi använder formeln z = z2 + c, som beskrivits i den första delen. Du kommer snart inse att i detta fall z2+c det är helt enkelt c, eftersom noll kvadrat är alltid noll. Och vad är det? c för den här torget? (-2,2).
    Bildnamn 217503 5C
  • Bestämmer absolutvärdet för denna punkt - absolutvärdet för ett komplext tal (a, b) är kvadratroten av a2 + b2. Eftersom vi kommer att jämföra det med det kända värdet 2, vi kan undvika att beräkna kvadratroten genom att jämföra med2 + b2 med 22, som vi vet är likvärdigt med 4. I denna beräkning, a = -2 och b = 2.
    Bildnamn 217503 5D
  • ([-2]2 + 22) =
  • (4 + 4) =
  • 8, vilket är större än 4.
  • Efter den första beräkningen flydde han från Mandelbrot-samlingen, eftersom dess absoluta värde är större än 2. Färg det med penna som du valde för det första steget.
    Bildnamn 217503 5e
  • Bild med titeln Mandelbrot_set_419
    Gör detsamma för varje kvadrat av bordet, förutom den centrala, som inte kommer att fly från Mandelbrot-satsen enligt det tredje steget (inte heller det någonsin). Så du använde bara två färger: den första passage för alla yttre kvadrater och den tredje passage för centrala torget.
  • Bildnamn 217503 6
    6
    Låt oss prova en kvadrat tre gånger större, av 9 vid 9, men vi upprätthåller högst tre iterationer.
  • 7
    Börja med den tredje raden från toppen, för det är här där saken omedelbart blir intressant.

  • Det första elementet (-2.1) är större än 2 (eftersom (-2)2 + 12 visar sig vara 5), ​​så låt oss färga den med rött, eftersom den kommer från hela Mandelbrot i första passagen.
    Bildnamn 217503 7a
  • Det andra elementet (-1,5,1) är inte större än 2. Använda formeln för absolutvärdet, x2+y2, med x = -1,5 och y = 1:
    Bildnamn 217503 7b
  • (-1,5)2 = 2, .25
  • 12 = 1
  • 2,25 + 1 = 3,25, mindre än 4, så kvadratroten är mindre än 2.
  • Fortsätt sedan med vårt andra steg, beräkna z2+c genom genväg (x2-y2, 2xy) för z2 (se Tips för att förstå var denna genväg härstammar från), igen med x = -1.5 och y = 1:
    Bild med titeln 217503 7c
  • (-1,5)2 - 12 blir 2,25 - 1, vilket blir `` `1,25-
  • 2xy, eftersom x är 1,5 och y är 1, blir det två (-1,5), från vilken den verkar `` `-3,0` ``;
  • Detta ger oss en z2 av (1,25, -3)
  • Lägg till nu c för denna ruta (summa x till x, y till y), erhålla (-0,25, -2)
  • Låt oss nu kontrollera om dess absoluta värde är större än 2. Beräkna x2 + y2:
    Bildnamn 217503 7d
  • (-0,25)2 = 0,0625
  • -22 = 4
  • 0,0625 + 4 = 4,0625, vars kvadratroten är större än 2, så det flydde efter den andra iterationen: vår första gröna!
  • När du är bekant med beräkningarna kommer du ibland att kunna känna igen vilka nummer som flyr från Mandelbrot-satsen en överblick. I det här exemplet har elementet y en storlek av 2, som efter att ha höjts till torget och läggs till kvadraten av det andra talet, kommer att vara större än 4. Ett tal större än 4 kommer att ha en kvadratrots större än 2. Se Tipsen nedan för en mer detaljerad förklaring.
  • Det tredje elementet, med c som har värdet av (-1.1), flyger inte i det första steget: eftersom både 1 och -1, förhöjda till torget, är alltid 1, x2+y2 är 2. Då beräknar vi z2+c, följ genväggen (x2-y2, 2xy) för z2:
    Bildtitel 217503 7e
  • (-1)2-12 blir 1-1, vilket är 0;
  • 2xy är därför 2 (-1) = -2;
  • z2 = (0, -2)
  • Lägger till c vi erhåller (0, -2) + (-1,1) = (-1, -1)
  • Detta är alltid samma absoluta värde som tidigare (kvadratroten på 2, ca 1,41) - fortsätter med en tredje iteration:
    Bildnamn 217503 7f
  • ([-1]2) - ([- 1]2) blir 1-1, vilket är 0 (igen) ...
  • men nu är 2xy 2 (-1) (- 1), vilket är 2 positivt, vilket ger z2 värdet på (0,2).
  • Lägger till c vi erhåller (0.2) + (-1.1) = (-1.3), som har en a2 + b2 av 10, mycket större än 4.
  • Därför löper detta nummer också bort. Färga rutan med din tredje färg, blå, och sedan vi har genomfört tre iterationer med den här punkten, fortsätt till nästa.
    Bildtitel 217503 7g
  • Att begränsa oss till användningen av endast tre färger blir klart ett problem här, eftersom något som flyger efter bara tre iterationer är färgat som (0,0), vilket inte flyger någonsin- självklart, på denna detaljnivå kommer vi aldrig se någonting närmar oss "buggar" av Mandelbrot.
  • Bildnamn 217503 8
    8
    Fortsätt att beräkna varje ruta tills det har runnit eller du inte har nått det maximala antalet iterationer (antalet färger du använder: tre i det här exemplet), nivån där du kommer att färga den. Här är hur matrisen 9 till 9 dyker upp efter tre iterationer i varje kvadrat ... Uppenbarligen upptäcker vi någonting!
  • 9
    Upprepa samma matris med andra färger (iterationer) för att visa nästa nivå, eller ännu bättre, rita en mycket större matris för ett längre projekt! Du kan få mer exakta bilder:

  • Bildnamnet Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533
    Öka antalet lådor - det här har 81 för varje sida. Notera likheten med matrisen 9 med 9 överst, men också de mer rundade kanterna på cirkeln och den ovala.
  • Bildnamn Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797
    Öka antalet färger (iterationer) - detta har 256 nyanser av rött, grönt och blått, för totalt 768 färger i stället för 3. Observera att i det här fallet kan du se linjen av den kända "sjö" (eller "buggar", beror på hur du anser det) av Mandelbrot. Nackdelen är den tid det tar - om du kan beräkna varje iteration om 10 sekunder, tar det cirka två timmar för varje låda i eller nära Mandelbrot-sjön. Även om det är en relativt liten del av 81 till 81-matrisen, skulle det troligtvis ta ett år att slutföra, även om vi arbetar flera timmar om dagen. Här är där kiseldatorer blir användbara.

    • tips

    • Eftersom z2 = (x2-y2, 2xy)?

    • till multiplicera två komplexa nummer som (a, b) med (c, d), använd följande formel, förklarad i detta Mathworld artikeln: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Kom ihåg att ett komplext tal består av en del "real" och från en "imaginära"- sistnämnda är ett reellt tal multiplicerat med kvadratroten på 1 negativ, ofta kallad den. Till exempel är det komplexa talet (0,0) 0 + 0i och (-1, -1) (-1) + (-1 * i).
    • Följer du fortfarande oss? Kom ihåg att villkoren till och c de är royalty, medan b och d de är imaginära. Därför, när de imaginära termerna multipliceras, ger kvadratroten av negativ 1 multiplicerad med sig själv 1 negativ, avbryter resultatet och gör det negativt. real- Tvärtom, siffrorna till och bc De förblir imaginära, eftersom kvadratroten av negativ 1 fortfarande är en term av sådana produkter. Som ett resultat utgör ac - bd delen real, medan bc + till det imaginära.
    • Eftersom vi höjer antalet kvadrade istället för att multiplicera två olika, kan vi förenkla lite - eftersom a = c och b = d har vi som en produkt (a2-b2, 2ab). Och eftersom vi associerar "komplex plan" en "Kartesiska planet", med axeln x som representerar "real" och axeln y som representerar"imaginära", vi kommer också att beskriva det som (x2-y2, 2xy).
    • Om du upprepade gånger beräknar en låda och inser att ett resultat exakt matchar en som du redan har fått för samma låda, vet du att du har kommit in i en oändlig cirkel - den rutan kommer aldrig att springa iväg! Du kan sedan ta en genväg, färga rutan med din slutliga färg och gå vidare till nästa - (0,0) är förstås en av dessa lådor.
    • Vill du veta mer om att bestämma absolutvärdet för ett komplext tal utan att kämpa med beräkningarna?

    • Det absoluta värdet av ett komplext tal (a, b) är kvadratroten av a2 + b2, samma som formel i rektangel triangeln, eftersom till och b De är representerade på kartesiska rutnätet (respektive x- och y-koordinaterna) i rät vinkel mot varandra. Eftersom vi vet att Mandelbrot-uppsättningen är begränsad till värdet 2, och att kvadraten 2 är 4, kan vi därför undvika att tänka på kvadratroten genom att se om x2+y2 >= 4.
    • Om en av katetrarna av a triangel rektangeln är i längd >= 2, då måste även hypotenusen (diagonalsidan) vara längre än 2. Om du inte förstår varför, rita några rektangel trianglar på ett kartesiskt galler och det kommer att bli uppenbart - eller titta på det på så sätt: 22= 4 och, om vi lägger till ett annat positivt tal till detta (att höja ett negativt tal till torget ger alltid ett positivt tal) kan vi inte få något som är mindre än 4. Således, om x- eller y-komponenten i ett komplext tal är lika med eller större än 2, är det absoluta värdet av detta tal lika med eller större än 2 och har befunnit sig från Mandelbrot-uppsättningen.
    • Att beräkna "virtuell bredd" av varje lådor, dela upp "virtuell diameter" för "antal lådor minus en". I ovanstående exempel använder vi en virtuell diameter på 4, eftersom vi vill visa allt inom radien 2 (Mandelbrot-satsen är begränsad av värdet 2). För approximationen av sidan 3 sammanfaller den med 4 / (3 - 1), det är 4/2, vilket i sin tur motsvarar 2. För sidan 9 kvadrat är det 4 / (9 - 1), det är 4/8, vilket i sin tur motsvarar `` `0,5` ``. Använd samma virtuella dimension av lådan för både höjd och bredd, även om du gör en sida längre än den andra- annars kommer hela den att deformeras.

    varningar

    • Matematik kan vara beroendeframkallande, som något annat, men det kommer troligen inte att skada din lever eller orsaka lungcancer.
    Visa mer ... (4)

    Mer wikiHow

    Dela på sociala nätverk:

    Relaterade
    Hur man beräknar omkretsen av en rektangelHur man beräknar omkretsen av en rektangel
    Hur man beräknar räckvidden för en numerisk uppsättningHur man beräknar räckvidden för en numerisk uppsättning
    Hur man beräknar volymenHur man beräknar volymen
    Hur man beräknar en kubens volym med hjälp av ytanHur man beräknar en kubens volym med hjälp av ytan
    Hur man beräknar en prismas volymHur man beräknar en prismas volym
    Hur man beräknar området för en halvcirkelHur man beräknar området för en halvcirkel
    Hur man beräknar yta och perimeterHur man beräknar yta och perimeter
    Hur man beräknar ytan av en rektangulär prismaHur man beräknar ytan av en rektangulär prisma
    Hur man beräknar längden på en rak linje med formeln för att beräkna avståndet mellan två punkterHur man beräknar längden på en rak linje med formeln för att beräkna avståndet mellan två punkter
    Hur konverterar Kelvin till Fahrenheit eller CelsiusHur konverterar Kelvin till Fahrenheit eller Celsius
    » » Hur man ritar Mandelbrot-satsen med handen

    © 2011—2021 gushelom.ru