Hur man skapar en Apollinea-tätning

En Apollinea Seal är en typ av fraktal bild, bildad av cirklar som gradvis blir mindre i en enda stor cirkel. Varje cirkel i Apollinea Seal är "tangens" till intilliggande cirklar - med andra ord, berör dessa cirklar varandra i oändligt små punkter. Samtals tätning Apollinea ära matematikern Apollonios från Perga, kan denna typ av fraktal föras till en rimlig nivå av komplexitet (för hand eller med dator), och bildar en bild underbart och imponerande. Läs steg 1 för att komma igång.

Del 1

Förstå nyckelbegreppen

"För att vara tydlig: om du bara är intresserad av "rita" en Apollinea Seal, är det inte nödvändigt att leta efter de matematiska principerna som ligger bakom fraktalen. Men om du vill förstå Apollinea Seal grundligt är det viktigt att du förstår definitionen av olika begrepp som vi kommer att använda i diskussionen."

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 1

Definiera nyckelord. Följande termer används i instruktionerna nedan:

Apollinea Seal: Ett av flera namn som gäller en typ av fraktal bestående av en serie cirklar som är inbädda i en stor cirkel och tangent till varandra. Dessa kallas också "Leta efter Zolle" eller "Letar efter Bacianti".
Radius av en cirkel: Avståndet mellan den centrala punkten i en cirkel och dess omkrets, till vilken variabeln brukar tilldelas "r".
Kurvkrökning: Funktionen, positiv eller negativ, invers mot radie, eller ± 1 / r. Krumningen är positiv vid beräkning av den externa krökningen, negativ vid beräkning av den inre krökningen.
Tangent: En term som tillämpas på linjer, plan och former som skärs vid en oändlig punkt. I Apollinee-tätningarna hänvisar detta till det faktum att varje cirkel berör alla närliggande cirklar i en enda punkt. Observera att det inte finns några korsningar - tangentformerna överlappar varandra inte.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 2

Förstå Descartes teorem. Descartes-steget är en användbar formel för beräkning av cirkelarnas dimensioner i Apollinea-förseglingen. Om vi definierar kurvaturerna (1 / r) av några tre cirklar - respektive "till", "b" och "c" - Kringkretsen i tangentkretsen till alla tre (som vi kommer att ringa "d") är: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).

För våra syften kommer vi att använda oftast bara svaret att vi får genom att sätta en skylt `+` framför kvadratroten (med andra ord, ... 2 + (sqrt (...)). För nu, vet bara att den negativa formen ekvationen har sin nytta i andra sammanhang.

Del 2

Bygga Apollinea Seal

"Apolline-sälarna har formen av magnifika fraktalarrangemang av cirklar som gradvis krymper. Matematiskt de Apollonisk packningar är oändligt komplexa, men använder ett ritprogram, både dra handen får du till en punkt där det kommer att vara omöjligt att dra mindre cirklar. Ju mer exakta cirklarna är desto mer kommer du att kunna fylla med packningar."

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 3

Förbered dina ritinstrument, analoga eller digitala. I stegen nedan kommer vi att göra en enkel Apollinea Seal. Det är möjligt att rita en Apollinea Seal antingen manuellt eller via dator. I båda fallen försöker du rita perfekta cirklar. Det är ganska viktigt, eftersom varje cirkel i Apollinea-tätningen är helt tangentiell till de cirklar som ligger nära den - leta efter att den är jämnt oregelbunden och kan förstöra din slutprodukt.

Om du drar på din dator behöver du ett program som gör att du enkelt kan rita cirklar med en fast radie från mittpunkten. Du kan använda Gfig en förlängning som drar vektoriellt för GIMP, ett gratis program för bildredigering, samt en myriad av andra ritprogram (se avsnittet material för några användbara länkar). Du kommer sannolikt också att behöva en räknare och något att registrera strålar och krökningar på.
För att dra förseglingen för hand behöver du en vetenskaplig räknare, en penna, en kompass, en linjal (helst med en millimeter skala), lite papper och en anteckningsblock.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 4

Börja med en stor cirkel. Den första uppgiften är enkelt - dra en stor cirkel som är helt rund. Ju större cirkeln är, desto mer komplicerat kommer förseglingen, så försök att rita en cirkel så stor som den sida du drar på.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 5

Rita en mindre cirkel inuti den ursprungliga, tangent på ena sidan. Dra sedan en annan cirkel inuti den mindre. Dimensionerna i den andra cirkeln beror på dig - det finns inga exakta dimensioner. Men för vårt ändamål ritar vi den andra cirkeln så att dess mittpunkt ligger mitt i den större cirkeldiametern.

Kom ihåg att i Apollinee-tätningarna är alla cirklar som berör varandra varandra tangentiella. Om du använder en kompass för att rita dina handkretsar, återskapa den här effekten genom att placera kompassens spets i mitten av raden på den större yttercirkeln och justera sedan penna så att "överflöde" bara kanten av den stora cirkeln och slutligen dra i den mindre cirkeln.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 6

Rita en identisk cirkel som korsar den mindre cirkeln inuti. Därefter ritar vi en annan cirkel som korsar den första. Denna cirkel borde vara tangent till både den yttersta och den innersta cirkeln, vilket innebär att de två inre cirklarna kommer att vara exakt halvvägs genom den större.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 7

Applicera Descartes `teorem för att upptäcka dimensionerna i nästa cirkel. Sluta dra ett ögonblick. Kom ihåg att Descartes sats är d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), där a, b och c är krökningarna i dina tre tangentcirklar. Därför, för att hitta radien på nästa cirkel, finner vi först krökning varje av de tre cirklarna vi redan har utformats så att du kan se krökningen av nästa cirkel, och sedan omvandla den och hitta radie.

Vi definierar yttersta cirkelns radie som 1. Eftersom de andra cirklarna är inuti sistnämnda behandlar vi krökningen "intern" (snarare än den yttre), och följaktligen vet vi att dess krökning är negativ. - 1 / r = -1/1 = -1. Krökets krökning är -1.

De mindre cirklarna strålar är halva längden på den stora, eller med andra ord 1/2. Eftersom dessa cirklar rör på den större cirkeln och berör varandra, behandlar vi deras krökning "extern", så krökningarna är positiva. 1 / (1/2) = 2. Kurvorna i de mindre cirklarna är båda 2.

Nu vet vi att a = -1, b = 2 och c = 2 enligt Descartes Theorem-ekvationen. Vi löser d:

d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (kvm (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

d = 3. Krökningen i nästa cirkel kommer att vara 3. Som 3 = 1 / r är radien för nästa cirkel 1/3.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 8

Skapa nästa uppsättning cirklar. Använd det radievärde du just hittat för att rita de två följande cirklarna. Kom ihåg att dessa kommer att vara tangentiva till de cirklar vars krökningar a, b och c användes för Descartes `teorem. Med andra ord kommer de att vara tangentiella till både de ursprungliga cirklarna och de andra cirklarna. För att göra dessa cirklar tangentiella mot de andra tre måste du rita dem i de tomma utrymmena i det större cirkelområdet.

Kom ihåg att radierna i dessa cirklar är lika med 1/3. Mät 1/3 vid kanten av yttersta cirkeln och dra sedan den nya cirkeln. Det borde vara tangentiellt mot de andra tre cirklarna.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 9

Fortsätt lägga till cirklar på det här sättet. Eftersom de är fraktaler är de apolloniska sälarna oändligt komplexa. Det innebär att du alltid kan lägga till mindre beroende på vad du vill ha. Du är endast begränsad av dina instruments noggrannhet (eller, om du använder datorn, zoomprogrammet för ditt ritprogram). Varje cirkel, oavsett hur liten, borde vara tangent till de andra tre. För att rita följande cirklar använd curvaturerna för de tre cirklarna som de kommer att ingå i Descartes `teorem. Använd sedan svaret (vilket kommer att vara radien för den nya cirkeln) för att noggrant rita den nya cirkeln.

Observera att den tätning vi har valt att rita är symmetrisk, så att radiusen i en av cirklarna är densamma som motsvarande cirkel "som korsar den". Men vet att inte alla Apolline-tätningar är symmetriska.

Låt oss ta ett annat exempel. Låt oss säga att vi, efter att ha ritat de sista serieerna av cirklar, vill dra cirklar som är tangentiella till den tredje serien, den andra och den större yttre cirkeln. Krökningarna i dessa cirklar är 3, 2 respektive -1. Vi använder dessa siffror i Descartes-steget, som anger a = -1, b = 2 och c = 3:

d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvadrat (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvm (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (kvm (1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. Vi har två svar! Men som vi vet att vår nya cirkel blir mindre än någon cirkel som den är tangent till, bara en krökning 6 (och därmed en radie av 1/6) det vore förnuftigt.

Det andra svaret 2 refererar för närvarande till den hypotetiska cirkeln på"andra sidan" av tangentpunkten för den andra och tredje cirkeln. detta "det är" tangent både till dessa cirklar och till yttersta cirkeln, men det bör korsa redan ritade cirklar, så vi kanske inte anser det.

Bildnamn Skapa en apollonisk packning Steg 10

Som en utmaning, försök att göra en icke-symmetrisk Apollinea Seal genom att ändra dimensionerna för den andra cirkeln. Alla Apollinee-tätningar börjar på samma sätt - med en stor yttercirkel som fungerar som fraktalkanten. Det finns dock ingen anledning till varför din andra cirkel ska ha en radie som är hälften av den första - det gjorde vi bara för att det är lätt att förstå. För skoj, starta en ny tätning med en andra cirkel av olika storlekar. Detta tar dig till spännande nya utforskningsområden.

När du har ritat din andra cirkel (oavsett storlek) ska ditt nästa drag rita en eller flera cirklar som är tangentiella till både den här och den större yttercirkeln - det finns inte en riktig väg. Då kan du använda Descartes-teoremetoden för att bestämma strålarna i varje successiv cirkel, som visas ovan.

Dela på sociala nätverk:

Relaterade